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1、课题: 20.4 一次函数的应用(2) 教学目标 1、经历把实际问题转化为数学问题的过程,会应用一次函数知识分析和处理一 些较为复杂的问题,提高应用函数知识解题的能力. 2、能获取一次函数图像屮信息,领会数形结合思想. 3、初步体会应用函数思想分析和研究实际问题中的数量关系及其变化趋势, 是为 人们作判断和决策而服务的,领悟数学的广泛应用性. 教学重点及难点 1、应用一次函数知识分析和处理一些较为复杂的问题. 2、获取一次函数图象屮信息,领会数形结合思想. 教学过程 一、问题引入,探究新知 问题1: 已知弹簧在一定限度内,它的长度y (厘米)与所挂重物质量x (千克)是一次 函数关系,如果有一
2、根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体(在弹性限度 内),你能用这根弹簧制作一把简单的弹簧秤吗? 1、思考分析 (1)材料准备:一根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体(在弹 性限度内) . (2)试一试:讨论在制作弹簧秤的过程中,关键要确定什么?问题屮“已知弹 簧在一定限度内,它的长度y (厘米)与所挂重物质量兀(千克)是一次函数关系”这 句话的实际意义是什么? 2、成果交流 制作弹簧秤的原理: 制作弹簧秤时关键要知道每挂一千克的重物弹簧的长度,这样 就可以制作出表示重量的刻度了. 而“已知弹簧在一定限度内,它的长度y (厘米)与 所挂重物质量兀(千克)是一次函数关系”说明弹
3、簧在一定限度内,每挂一千克重物弹 簧伸长的量是相同的. 所以用弹簧制作弹簧秤关键是确定弹簧长度与所挂重物质量之间 的函数解析式,可设y=d+b(kH0),通过两组对应值用待定系数法确定与伙而利用 手中的材料可得到这两组对应值. 制作弹簧秤的方法:先量出弹簧不挂重物时的长度,若长度为6(厘米),再量 出弹簧挂上2.5千克重物时的长度,若长度为7.5(厘米),即得到两组对应值: 当x=0 吋, 尸6;当x=2.5时,尸7.5代入 尸d+b(kfO)中, 得函数解析式尸0.6兀+6.我 们 只要分别取尸1, 2, 3,得到对应的y的值,标记出相应的重量的刻度,弹簧秤就制作 成功了 . 当然利用函数解
4、析式也可知,当弹簧的长度是7 (厘米)时 , 重物的质量为专千 克. 【说明】动手操作,在“做中学”,学生经历把实际问题转化为数学问题的过 程,提高了应用函数知识的能力. 二、巩固方法,学会应用 问题2:家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案 甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750 元,再加每月销售额的20%,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案? 1、审题 首先确定实际问题转化为怎样的数学问题?“怎样选择”关键是看哪一种方案 薪金高?而每月薪金又依赖每月的销售额. 在明确常量和变量的基础上,用字母合理表 示变量 , 寻找数
5、量之间的等量关系. 2、分析 变量:月薪y (元),月销售额为x (元) 等量关系:每月薪金=每月底薪 +销售额X百分率 “选择哪种方案”,实质是比较两个函数值y的大小 . 显然,两个函数值的大小 随着x的变化而变化,要比较它们的大小,可以先探索x取何值时,儿 =力, 进而根据 函数的图像性质探索函数值的变化趋势,判断它们的大小. 也可以先假设任意一种情 形,例如刃力,通过解不等式,求得兀的范围,作出断断. 还可 以通过两函数值的差 的符号来比较函数值的大小后作出判断. 解法一:设月薪y (元),月销售额为无(元) 方案甲:y甲=1500+0.1兀(心0) 方案乙:y乙=750+0.2% (兀
6、20) 当y 甲乙时,1500+0.1尸750+0.N,解得 尸7500. 求得y甲刁乙=2250,即销售额为7500元时,这两种方案所定的月薪相同. 在同 一坐标系屮画出两种方案屮y关于x的函数图像 . 解法二:若y 甲乙,贝 ! 1500+0.1%=750+0.2兀,解得x=7500; 若y 甲y 乙,贝J 1500+0.lx750+0.2%,解得x7500. 答:即销售额为7500元时,这两种方案所定的月薪相同. 当0W兀V7500时, 中 y乙,当兀7500时,y甲0,即0WxV7500时,歹甲 歹乙; 当-0兀+750V0,即兀7500时,y甲 V y乙. 【说明】本例题是一道利用一
7、次函数知识进行分析、决策的题,让学生充分体会 了数学知识的广泛应用性. 本题的关键是在将实际问题转化为数学问题,明确“怎样选 择”,就是要建立薪金与销售额的函数关系式,比较两个函数值的大小?方法一,利用 函数图像上所获取的信息,作出结论,有利于学生数形结合思想的培养,直观形象. 方 法二、三,书写简洁方便,教学中可作介绍. 三、巩固练习 1、为了保护学生视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的. 研究表明: 假设课桌的高度为yew,椅子的高度(不含靠背)为 xcm,则y应是兀的一次函数 . 下表 列出两套符合条件的课桌椅的高度: 第一套第二套 椅子的高度兀(cm) 4037 桌了的高度y
8、(cm)7570.2 (1)写岀y与xZ间的函数关系式; (2)现有一把高42c加的椅子和一张高为78.2cm的课桌,它们是否配套?通过 计算说明 . 解:(1)设y二也 +方伙H0) 把兀 = 40,尸75; % = 37, y = 70.2分别代入函数解析式 75 = 40 + /? 得?I 70.2 = 37R + b Q 解得: “ 尹=11 Q ?函数解析式为y = |x + ll(x0). Q (2)把兀 =42代入y = -x+ll中,得:y = l 当通话时间大于250分钟时,选择“全球通”. 四、课堂小结 通过本节课的学习,你在函数知识的应用方而有哪些感悟?还有哪些问题要提出
9、 呢? 五、作业布置 1、练习木:书上P18第1、2题,练习部分玖第1、2题. 2、课课练:Pj516 习题20.4 (2). 教学设计说明 应用函数的思想方法来解决较复杂的实际问题,关键是在认真审题后,能够顺利 地将实际问题转化为数学问题,再熟练应用函数知识进行解题. 问题1是运用待定系数法确定函数解析式后使问题得以解决,这是木节课学习的 基本目标, 学生应牢固掌握, 因此课堂练习中配有“用待定系数法”求解析式的巩固题 型. 问题2进一步提高学生应用知识的能力,并体会数学知识的广泛应用性. 解 法一根 据图像信息,可以放手让学生自己说结论. 因为题目问题是“你认为应该选择怎样的薪 金方案?”有的学牛根据自己的实际说“我销售能力有限,为保险 起见,选择方案甲”, 有的学生说:“我相信自己的实力,而且我想挣更多的钱,所以我选择方案乙” ?讨论 激发了学生解决问题的积极性,增加了学生学习数学的情感, 提高了对函数图像信息的 理解能力,避免了决策问题答案唯一的思维定势,突破了学生学习中的难点.
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