20高中阶段二次函数新视点(南春中学陈洁).doc.pdf
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1、高中阶段二次函数新视点 湘桥区南春屮学数学教研组陈洁 【摘要】二次函数貝有的丰富内涵和外延,其深入学习和灵活应用是高中数学常考察 的知识点,是学生学好高中数学的一大基础。它可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问 题,综合的考查学生的数学基础知识和数学素质,是高小数学一个比较重要的函数模型, 在整个高中数学的学习过程中,起着举足轻重的地位。 【关键词】二次函数应用 【止文】二次函数在整个高中数学的学习过程中,起着举足轻重的地位。虽然学生通 过初中的学习,已经对二次函数作了较详细的学习研究,但曲于初中学生的学习特征, 数学 基础也相对比较薄弱,且受其年龄特征影响,接受能力的限制,所以他们对知识点的学
2、习 与掌握多是机械性的,难以从本质上加以理解掌握。而在高中数学的学习中,则常常需要 对二次函数的基本概念基本性质,如图彖,单调性,奇偶性,冇界性等进行灵活应用,这 对学生的学习提出了更高水平的要求。常让多数的学生感到困难,尤其是刚刚步入高中生 活的高一新生。对二次函数进行深入学习和灵活应用也是高中数学常考察的知识点,是学 生学好高屮数学的一大基础,对此要掌握好以下几个方面: 一深入理解丙数的概念 通过初中的学习,学生已经基本了解了二次函数的定义,掌握函数的三种表达方式: y = 6z(x-x,)(x-x2)(6/0)o而在刚进入高中数学学习屮,通过集合映射有关知识的学习,则 能更好让学生从集合
3、映射的角度重新学习函数概念,让学生从质上理解函数这一概念。在 这基础上,结合二次函数的学习,则能更高层次的认识函数的概念。二次函数是从一个集 合A (定义域 )到集合B (值域) 上的映射使得集合B中的元素y = ax 2 4-4-c(a 0)与集合 A 的 元素x 对应,记为f(x) = ax 2 +bx + c(a / 0)这里 o?+加+ c表示对应法则,又表示定义域中 的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念冇一个较明确的认识,在学生掌握函数 值的记号后,通过具体问题,灵活应用二次函数的有关性质,结合一元二次方程及一元二 次不等式等知识点解决问题。 一般式y = ax2 + bx
4、+ c(a H 0)顶点式 / b二4ac-b ( 石)+飞( 心)两点式 例1:已知/(x)= 2X 2+2X +5,求f (x+1) 分析:这里不能把/(X+1)理解为X二X+1时的函数值,只能理解为自变量是x+1的函 数值, 其对应法则为2 () 2+2( )+5. 解:/(x)二2x?+2x+5 ?/?( 兀 +1) = 2(x + 1尸 + 2(兀 +1) + 5 = 2兀$ + 6兀 + 9 变式:已知函数/(x+l)=2x 2+6x+9,求 /(x)? 分析:这个问题理解为,已知对应法则/ 下,定义域中的元素x+1的象是2/+6x+9, 求定 义域中元索X的象,其本质是求对应法则
5、。一般有两种方法:(1)把所给表达式表示成x+1 的多项式J(x+1)二2X 2+6X +9=2 (X+1)2+2 (x+1) +5,再用x代x+1 得f (x)=2x 2+2x+5? 变量 代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。令t=x+l,则x=t-l,所以f (t) =2 (t_l) 2+6 (tl) +9=2t 2+2t+5 从而可得 / (x) = 2x+2x+5. 二 灵活掌握应用二次函数的基本性质 通过对函数基本性质的学习,让学生更进一步的理解二次函数的单调性,最值以及 图像等基本性质。首先我们可以先让学生对二次函数y = ax2+bxc(aO)在区间 严密理论的基础上,与此同
6、时,进一步充分利用函数图彖的直观性,了解二次函数的对 称轴为X = - o同时给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图彖学习二次函2a 数有关的一些函数单调性及其最值。 例2:已知函数/U) =3/-12+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最 大值和最小值: a川R; (2) 0,3; (3)-1, 1 分析:作出y=3x 12%+5 (%eR)的图象再分别截取0, 3, e-l,l的图 象,看图象的最高点,最低点的纵坐标。 解:fx) = 3x 12x+5 = 3(x2)27. (1)当xWR 时,/U)=3U-2)2-7-7, 当x=2时,等号成立 . 即函数代劝的最小值为一7
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