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1、 2-11 函数模型及应用 【知识梳理】 1. 几类函数模型 陕西刘大鸣史亚鹏 logfAx log,A 函数模型函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a, h为常数, aHO) 二次函数模型 f(x) = ax + bx + c(a, b, c 为常数,GHO) 指数型函数模型 f(x)=ba x+c (G,b, c为常数, G0, 且 dHl) 对数型函数模型 f(x) =hlog (Jx +c (a, b, c 为常数,a0, 且 曲) 幕函数型函数模 型 f(x) =ax 11 +b(a, b 为常 数, cO) 2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数尹 =aa
2、1)与幕函数尹=xn0): 在区 间(0, + 00).1:,无论比Q大多少,尽管在兀的一 定范围内 / 会小于,但由于a x 的增氏 X的增 长,因而总存在一个Xo,当XXo 时,冇 . 对数函数 y= log “心 1)与幕函数y=x n(n 0): 对数函数尹 =10 财( 。1)的增长速度,不论。与n 值的大小如何总会_ v=Z 的增长速度, 因而在 111(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管 均 为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同 一个 档次上,因此在 (0, + 8) 上,总会存在一个 xo,当 xx 时,冇定义域内总存在一个实数 心, 当 xx0吋,有 _ . 【课前自
3、测】 1 ?某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是 /(/)=孑+ 24/ 101 (4W/W18),则该沙漠地区在该 吋段的最大温差是 () A. 54 B. 58 C. 64 D. 68 答案: C 提示: 当 7=12 时, 7Wmax = 43,当t=4时, /(/) min = -21,最大温差为43 (21) = 64. 2. 己知某矩形广场的面积为4 万平方米,则具周长 ?至少为() A. 800 m B. 900 m C? 1 000 m D. 1 200 m 答案 : A 提示:设这个广场的长为x m,则宽为警所以其周 长为/=2 卜+葺也卜 800,当且仅当200 时取等
4、号 . 3. (13 沈阳模拟 ) 若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小 时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度力(cm)与燃烧时间 Z ( 小时) 的函数关系用图象表示为() 答案: B 提示:依题设可知,蜡烛高度力与燃烧时间方之间 构成一次函数关系, 又?函数图象必过点(0,20)、(4, 0)两点,且该 图 象应为一条线段 ?选B. 4 . 有一批材料可以围成200米长的围墙,现用此材 料在一边靠墙的地方围成一块矩形地( 如图) ,且内 部用此材料隔成三个血积相等的矩形,则围成的矩 形场地的最大面积为 答案:快于/ Z 慢于 答案: 2 500米 2 提示:设三个而积相等的矩形的长、宽分别为兀
5、 米、 尹米,如图,则4x+3p=200, 乂矩形场地的面 积 S 2004x =3 卩=3 片=x(200 4x) = 4(x 25) 2 + 2 500, ?当x=25时, 5=2 500. 0,解得兀 02 或 据题意, x0,所以故企业要成为不亏损金业, 每月 100af5 + l- V x x ) 7C; 至少耍生产 4台电机 . (2)若企业亏损最严重,则nm取最人值 . 因为n (13 上海高考 )卬厂以 x 千克/ 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求IWXWIO),每小时可 ( 3、 获得的利润是100 5x4-1-元. I x丿 (1)求证:生产 a千克该产品所获得
6、的利润为 _加=- 2 + 5X+-|X+| =一却( 兀一 1) 2 刃諾一 *一 I)?. 9 0 I 所以当吋, 77 777 取最大值才,此时W = 2_4 = n T- 17 故当刀总产值为亍万元时,企业亏损最严重,最大 亏损额为专万元 . 例 3构建函数模型解决实际问题 诺贝尔奖发放方式为:每年一?发,把奖金总额平 均分成 6 份,奖励给分别在6 项( 物理、化学、文 学、 经济学、 牛理学和医学、 和平) 为人类作出最有 益贡 献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年 度所 获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便 保证奖金数逐年增加. 假设基金平均年利率为厂 =6.24%. 资
7、料显示 : 1999年诺贝尔奖发放示基金总额 约为 19 800万美元 . 设久 x)表示第年诺贝尔奖发放 后的基金总额 (1999年记为 ./(I), 2000 年记为 7(2),, 依次类推 ) 用 7(1)表示夬 2)与人 3),并根据所求结果归纳出函 数心) 的表达式; 试根据心 ) 的表达式判断网上一则新闻“2009年 度诺贝尔奖各项奖金高达150 万美元”是否为真, 并说明理由 .( 参考数据: 1.03 1 2 9= 1.32) 解析:构建 指数函数模型y=a(l+p) x (1) 由 题 意 知 : 人2)=/(1)(1+6.24%)- 软1)624%= X1)X(1+3.12
8、%), /3)=X2)X(1 +6.24%) 卯2)X6.24%=./(2)X(1 + 3.12%)=/1)X(1+3.12%) 2, ?. 心) =19 800(1+3.12%r!(xGN*). (2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为X10)=19 800(1+3.12%)9=26 136, 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为*冷 /(10)624%= 136(万美元 ),与 150 万美元相比少了约 14 万美 元,是假新闻 . 【举一反三】 3 (13 江苏)在平面肓角坐标系中,设定点力(a, a), P是函数 =(x0)图象上一动点,若点、P, A ?A 之间的最短距离为2也,贝
9、IJ 满足条件的实数a的 所 有值为 _ . a0 ,兀+丄 22 , .X 已知条件 a2 a 2-2 = S 答案:帧, -1 当吋, d=x+ 10| + 氐一 14| + Pr-3|+2y| + y-20|. 因为 di(x)=|x+10|+*-14| + |x-3| 环+10| + *14|, (*) 当且仅当 x=3 时,不等式 (*) 中的等号成立 . 乂因 为|x+10|+|x14024, (*) 当且仅当 xe-10,14吋,不等式 (*) 中的等号成 ? SL. 所以必 (x)N24,当且仅当 x=3 时, 等号成立 . 必(刃=2 协|+ 仪一 20|$21,当且仅当时,
10、 等号 成立. 故点 P的处标为 (3,1)时, P到三个居民区的 “L路 径”长度 Z 和最小,且最小值为45. 当 OWyWl 时,由于 “L路径”不能进入保护区, 所以 d=*+10|+*_14|+*_3|+l + 卩-y+y+ |y-20|. 此时, di(x) = |x+10| + |x14| + |x3|. d2(y)=l+l y + y+fy20=22y2. 由知, m( x)$24,故 d|(x)+d2( ?$45,当且仅当x=3, 时等号成立 . 综上所述,在点P(3,l)处修建文化屮心,可使该文 化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 【举一反三】 4 ( 13陕西)
11、 在如图所示的锐角三角形空地屮,欲建 一个面积最人的内接矩形花园 ( 阴影部分 ),则其 边 长X为 _ m. 答案:20 提示:如图所示,/ADEs/ABC, 设矩形的而积为 S,另一边长为 尹, 则號喘卜 (赫所以 Lr,则S= x(40-x)=-(x-20)2+20 2, 所以当 x=20 时,S最大. 【课标自测题】 一. 选择题 ( 本大题共 10 小题,每小题5 分,共 50 分) 1. 某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%, 若每年的平均增长率相同( 设为 x),则以下结论 2 确 是() A. x22% B. xa, 知解得44, =x(16 x), 其最人值久。) =
12、x(xWN“ )为二次函数关系(如右图所示),则每 辆客车 营运多少年吋,其营运的平均利润最大 () A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案: C 64, 00,故| 蚀血=|( 1 一斶=|( 1 +ln3). 三. 解答题 (本大题共 4 小题,共 50 分) 15. ( 江苏省徐州市2013届高三考前模拟 )某人 2002 年底花 100 万元买了一套住房,其中首付30 万元,70 万元采用 ?商业贷款 ?贷款的月利率为5 匕,按复利计算,每月等额还贷一次,10 年还 清,并从贷款后的次月开始述贷 . 这个人每刀应还贷多少元? 为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖 50000
13、0 -(245000 + 100000) = 155000 ( 元). 答: 卖房人将获利约155000元 16. 已知某物体的温度 &(单位:摄氏度 )随时间 /( 单 位:分钟 )的变化规律: 0=w2 /+21 侔 0,并且 m0). 如果 m=2,求经过多少吋间,物体的温度为5 摄氏 度; 若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值 范 围. 解:(1)若加=2,贝 0 2(x x2), 房时按照差额的20%缴税. 如果这个人现在将住房 150 万元卖出,并H.差额税由卖房人承担,问:卖 房 因此,当物体的温度总不低于2 摄氏度时,加的取 值范围是甘, 所以牙 _ 700()()()x0
14、.005x(1 + 0.()()5) 必 兀_ (1 + 0.005 严 一 1 答: 每刀应还贷 7875元 (2)卖房人共付给银行7875xl20 = 945000 元,利息 945000 一 700000 = 245000 ( 元), 缴纳差额税 (1500000 -1000000) x 0.2 = 100000 ( 元), ? 17. ( 13 龙岩一小月考 ) 某分公司经销某品牌产 品, 每件产站成木3元,且每件产詁需向总公司 交 a元 (3WdW5)的管理费,预计当每件产品的售 价为兀元(90W11)时,一年的销售量为(12X)2万 件. 汨 求分公司一年的利润厶(万元) 与每件产
15、品的售 价 x(元)的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的 利润厶最大?并求出L的最大值 0( ). 解:根据题意可知 , 厶( 兀) =(x3G)(12x)2, x =5 时, 2,+寺=|, 令2=x21,贝ij x+|=|, 由于x 人将获利约多少元?( 参考数 据: (1 + 0.005 严=1.8) 解: (1)设每月应还贷x 元, 共付款 12x10 = 120 次, 则有 41 + (1 + 0.005) + (1 + 0.005) 2 +? + (! + 0.005) 19 = 700000(1 + 0. = 7875 ( 元) e9, 11? 由( 1)知,厶 (x) = (12-x)(18 + 2-3x), 令厶 (x) =0,解得 x=6+寸或 x=12(舍去), T 3 W a W 5,?: 8 W 6+年 W辛 2a9 当 8W6+400. 所以当兀 =9 时,的最小值为400万元. 则两年内的税收为400X 15%X30X 12X2X1.5% =648600,所以 600 万元投资可以在两年内全部 127 兀), 127 设处 )占 X, 127 10,所以 收回.
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