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1、王鹏远 2014 年编 Hankel 认为:“在大多数的学科里,一代人的建筑为下一代人所拆毁,一个人的创造被另一个 人所破坏。唯独数学,每一代人都在古老的人厦上添加一层楼。”这段话形象地说明了数学需 要不断继承前人的成果进行再创造,是积累了一代乂一代数学家智慧的结晶。 数学的发展不会一帆风顺,这小间必然经历种种矛盾和曲折,数学家不断力求克服矛盾抓住 数学本质的努力,是驱动数学发展的内在动力。数学的发展其实是数学思想的发展,数学史真 实记录了一代代数学家当时面临的困惑和矛盾,以及为摆脱困惑解决矛盾不断萌生出的新思想, 新观点和新方法。了解点数学史,就深知今天的数学不是凭空而降的,抽象的数学概念其
2、实抽 象得自然而合理,看似冰冷的形式化的数学其实是孕育着生动活泼的数学思维的精神产品。函 数概念发展的历史就充分证实了这一点。 函数概念是整个数学中最重要的概念之一。人们对函数的认识是逐步深化的,从17 世纪 卜- 半叶到现在经历了300 多年漫长的历程。了解函数概念发展的脉络,有助于我们把握函数的数 学实质,感悟数学的抽象思维和追求严谨的价值。 函数思想的萌芽从几何观念上对函数的初步探讨 函数概念的起源,最初和人们对运动的研究有密切的联系。在描述物体运动的曲 线时,人们提炼出变量的概念。 意人利科学家伽里略 (1564-1642) 关于白 rfl 落体、单摆的研究,就包含着两个聚 同时变化的
3、思想。伽里略指岀:“从静止开始的匀加速下降的物体,其经过的距离 与所用的时间的平方成正比。”从这句话清楚地看出他在讨论变量和函数。只不过 没有引入函数符号和对函数概念字面上的概括。 17 世纪上半叶,法国著名数学家笛卡尔(1596 1650)明确给出了点的坐标的概 念。他指岀,当动点做曲线运动时,动点的x 坐标和 y 坐标相互依赖并同时发住变 化。他的观点也喑含着函数的思想。 可见,此时变量已经引入了数学,用变量解释运动、刻画动点的轨迹,反映 了那时人们对现实世界屮这种变化中的依赖关系在认识上的飞跃,也是人们力图笛卡尔 用严谨的数学方式楮确研究物理世界变化现象的开端。尽管当吋还没有正式提出函数
4、的概念, 但却已经冇了函数思、想的萌芽。 函数概念的初步形成从代数观念上看函数 函数 -function- 作为数学术语是德国数学家莱布尼兹(1646-1716) 首次使用的,用来表示 “幕”,表示任何一个随着曲线上动点运动而变化的量,如曲线上点的纵坐标。 在他的著作 历 史(1714 年) 中用函数一词来表示依赖于一个变量的量。 怎么表述“依赖于一个变量的量”这个概念呢?1718 年瑞士数学家约翰 ?伯努利(1667) 在 莱布尼兹函数概念的基础上对函数给出了如下定义:“一个变量的函数是指山这个变量和一些 数和常量的任何一种方式组成的一种量。” 1748 年,约翰 ?们努利的学牛,18 世纪
5、著名的数 学家欧拉(17071783)推广了他老师的定义:“一个变量的函数是由该变蜃和一些数和常量 的任何一种方式构成的解析表达式。”欧拉用“解析表达式”替代了他老师的“任意形式”, 明确地表述了变量Z 间相互依赖的关系 , 使函数概念在严密性上前进了一大步,而早在 1734 年欧拉还给出了非常形彖的函数符号f(x),这个符号一直沿用至今。 1797 年, 法国数学家拉格朗H (1736-1813) 重述了上面约翰和欧拉的定义,但他指岀:“我们卅字 阅读材料函数小史 伽里略 A 母 f 或 F 放在一个变最前面以表示该变最的一个函数,即表示依赖于这个最的另外一个最, 它按 照一?种给定的规律随
6、那个量一起变化。” 至此,函数概念初步形成了,但是18世纪的数学家们一致认为函数概念是与确定的解析表 达式紧密联系在一起的,甚至像高斯那样天才的数学家也认为函数是一个解析表达式。从数学 的角度看这确实比用“依赖”、“任意形式”刻価函数概念更严谨了,但随之出现了问题: 一个 函数是否一定有解析表达式,如杲有这个解析表达式是否是唯- 的?解决这个问题的任务就落到 了 18 世纪后半叶的数学家的肩上。 数集到数集的映射这个现代函数观点。狄利克雷指出:“对于在某区间上的每一个确定的X 值, y 都有一个确定的值,那么y 叫做 X 的函数。 “这个定义避免了函数定义屮对依赖关系的描述, 以清晰的方式被所
7、有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义,也就是现在初中教科书中 给出的函数的定义。 函数概念的再次发展从集合映射的角度看函数 19 世纪末到 29 世纪出,把苗数作为一种对应或者映射的思想己经完成。如果说前面两个 世纪人们更关注函数的解析式, 那么 20 世纪的数学家开始关注口变量的収值范围。当廉 托(1845 函数概念的确立用对应的观点看函数 18 世纪后半叶,欧拉和拉格朗FI 在关于弦振动的研究中 , 开始允许函数在不同的区域上有不同的表达式。 1822 年法国数学家傅立叶 (17681830) 的工作则根木改变了函 数的面貌,他发现某些函数未必冇唯一的表达式,从而结束了函数概念 是否
8、以唯一一个解析式表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新层 次。傅立叶指出:“如果对于给定区间上的每一个x 值有唯 一的一个 y 值同它对应,那么y 就是 x 的一个函数,至于在整个区间上 y 是否可以 用数学运算来求得,那是无关紧要的事。” 后來法国数学家柯西(17891857) 给出了在简单畅数屮存在表达 式不唯一的例子。 0; -x,x 0. 1821 年,柯西给出了函数的如下定义: “在某些变数间存在着一定的关系, 当一经给定其屮某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时, 则将最初的变数叫自变量,英他各变数叫做函数。” 在柯西的定义中,首先出现了自变量一词,同时指出对函数来说不一定要
9、有解析表达式。不过他仍然认为希望用“自变量”来表示“其它的量”。 1837 年,徳国箸名数学家狄利克雷(18051859)给出了一个数学史上有 名的函数实例 D(x)= 1,兀是有理数; 0,兀是无理数 . 这个例子突破了“解析表示”这一局限,拓广了函数概念,它具体而深刻地显示了函数是 莱布尼兹约翰?伯努利欧拉拉格朗日 傅立叶 柯西 狄利克宙 1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,函数概念发展成一个集合到另一个集合的映 射,通过集合概念把两数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了 “变量是数” 的局限,变量可以是数,也可以是其它对象。函数的概念再次发展之示,函数概念应用的范围 也随 Z 拓广了。例如计算机编程语言中广泛使用的函数概念,就是数学中函数概念的推广。今 天,函数的应用已经渗透到数学、口然科学乃至人文科学的各个领域。大量的重要数学问题和 实际问题,都碍要归结到特定函数的计算。函数是纯数学与应川数学的灵魂。
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