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1、模块基本信息 一级模块名称微分学二级模块名称应用模块 二级模块名称函数的凹凸性和拐点模块编号3-6 1、函数单调性判别 3-4 先行知识模块编号 2-4 2-5 2、函数求导运釘 . 2-6x 2-10 知识内容 教学要求掌握程度 1、函数凹凸性和拐点的概念1、理解函数凹凸性和拐点的概念, 2、掌握简单函数凹凸性的判别方简单应用 2、函数凹凸性的判别方疙以及拐点的求法 法以及拐点的求法 台匕Tn曰好1、培养学生的观察总结能力 冃匕刀曰称 2、培养学生的计算能力 时间分配45分钟 编撰秦小娜校对方玲玲审核危子青 二次修订王明 正文编写思路及特点: 思路:通过研究函数图像特点,引出函数凹凸性和拐点
2、,并通 过考察其斜率变化总结出判断凹凸区间与拐点的方法, 培养学生总结 方法的能力 . 特点:让学生通过观察,提出问题、并解决问题. 二、授课部分 ()知识回顾 1、fx) 0 /(x)单调递壇;fx) f(x)单调递减 2、函数的求导法则 (-) 新课讲授 1、函数凹凸性与拐点的定义 我们來看=x 2 和y = 4x在(0,1) f A T 上的图像,可以看到我们画这两个函数的 图像时,如果只描0、A两个点,那么( 0,1) 上的图像就容易混淆。为此我们提出函 / 丿 数的凹凸性來解决这个问题。 X ?般地,我们把y二x2的图像称为凹- - O1 的,而把y =仮的图像称为凸的。下面 图1
3、给出具体定义。 定义1设函数y(x)在区间a, b冇定义, (1)如果对任意的x,x 2 E (a,b),恒有 (兀+兀2)/ (兀】) + / (兀2) J 22 成立,则称函数 / (力在(a, b)内是凸的 ; (图2) (2)若对任意的x19x2 e (a,b),恒有 几西 +吃)v / (西) + / (兀2) 八2丿2 成立,则称函数/(x)在Q, b)内是凹的。(图3) 定义3连续曲线上凹凸区间的分界点称为拐点. 2、函数凹凸区间和拐点的求法 由图4,可知函数的斜率= f (x)递减,即fx ) 0 ,所以函数的凹凸性与函数的二 阶导有关。 定理1设函数y = f (x)在a,b
4、内连续,在(以)内具有一阶和二阶 导 数,那么 (1)若在(a,b)内,厂 (兀)0,则曲线y = f(x)在讪上是凹的 . (2)若在(a劝内,广 v 0,则曲线y = f(x)在讪上是凸的 . 由定理1 可知,拐点的充分条件为: (1)/ff(xo) = O或兀为二阶不可导点 . (2)兀两边厂(兀) 异号. ( 三) 案例讲解 例1求函数/(x) = 2r 3-9x2+12x-3 的凹凸区间和拐点 .( 一级) 解函数的定义域为(-co,+oo), y = 6%2-18x4-12, / = 12x-18. 令尸=0得x = 列表 2 X (7* 0 弓 ,+8) 0+ y c 拐点 7
5、3 7 2 故函数的凸区间为(-00,-),凹区间为(-,+00),拐点为(2,2). (表中U表示曲线是凹的,表示曲线是凸的?) 例2求函数y = x 2+- 的凹凸区间和拐点 .( 二级) 解 函数的定义域为 (Y),0) U (0,+OO), 1 2 JDL / = 2x , y“ = 2 + , x % 令)r = o,得兀= ?1? 列表: X(-00,-1 ) -1(-1,0)0(0,+Q y n + 0无意义+ ykJ有拐点 c 有拐点 u 由表可知,当x = -l时,曲线有拐点(-1,0), 小结: 判定曲线m的凹凸性与拐点的一般步骤为: (1)确定函数 /( 兀)的定义域 . (2)求函数于 (兀)的二阶导数 . (3)求出满足fx) = 0的所有点及二阶导数不存在的点. (4)以(3)中找出的所有点, 把函数的定义域分成若干个部分区间, 然后 考察二阶导数在各部分区间的符号, 从而判定曲线在各部分区间的凹凸 性与拐点 . 三、能力反馈部分 (考查学生对凹凸区间和拐点求法的掌握情况) 求下列 函数的FI凸区间与拐点 (1)y = 4x-x 2 ( 一级) (2)y = x +丄( 一级) (3)y = (x-2)V?(二级 )
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