3.函数奇偶性与周期性.doc.pdf
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1、第三讲:函数的奇偶性、周期性 一?奇偶性 1 . 定义: 若函数定义域关于原点对称,则 对于定义域内的任意X,都有f(x) -f(-x)=o成立o f(x) =f(-x) Of(x)为偶函数 ; f对于定义域内的任意X,都 有(x)+f(-x)=0成立 o f(x) =-f(-x) of(x)为奇函数。 2. 判别方法:定义法,图像法,复合函数法 3. 性质: (0) f(x)与一f(x)有相同的奇偶性;/ 与一有相同的奇偶性;奇奇=奇;偶偶 =偶;奇X /(X) 奇=偶;偶 0 ),则T =2 a ;若对任意的x, 则T=2a ; 若对任意的 “卄册,则T=4a;若f(x)的图像关于x=a和
2、x = b对称,则T=2 a-b;若f(x)的图像 关于(a, 0)和(b, 0) 对称,则; 若f(x)的图像关于x= a和(b, 0)对称,则T=4p-/?|o 三. 函数图像的对称性问题: 定理1若对于任意x都有f (a x) = f (b+x),则函数f (x)的图像关于直线对称。 特别的,若对于任意x都有f(a x)=f ( a +x)( 或者f ( x ) = f (2 a x),则函数f (x) 的图像关于直线x=a 対称。 定理2若若对于任意x都有f ( a x ) + f (a + x) =2b ( 或者,则函数f (x)的图像关于点(a,b) 对称。 特别的,若对于任意x都
3、有f(a x)+(a +x) =2b (或者f (2 a x ) +(x) =2b), 则函数f (x)的图像关 于点(a,b)対称。 五?练习 : 1.判断下列函数的奇偶性: n(y/l-X + V-x)(x 0,X v 0,/. f( x) 1/?( J1 + x + yfx) In 尸Iny/x +1 y/x) f (x); y/ X + I j X 饮兀 0,f(-x) = 1刃(J-尢 +1 一J-兀)=1“ j= =- 兀+ J-兀)=一f(x) +Q- X 当x=0 时/(x)=0,也满足/(-x)=-f(x); 由、知 , 对xWR有f( 一x)=f(x), :.f(x)为奇函
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