33三角超越函数的命题方向.docx.pdf
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1、厂中国高考数学母题(第343号) 三角超越函数的命题方向 含有三角函数的超越函数是课标离考命题的重要模型函数,针为三角函数的丰富性质,研究含有三角函数的超越函 数 的高考命题方向是十分必要且冇价值的. 母题结构 : 含有三角函数的超越函数的高考命题方向有: 包装复合、基木性质、不等研究和数列问题,其中,数列问 题 归属到下一个母题中 . 母题解析 : 略. 1.包装复合 子题类型I : (2015年安徽高考试题 ) 设函数 f(x)=x 2-ax+b. ( I)讨论函数 f (sinx)在(- 巴,巴 ) 内的单调性并判断冇 22 无极值,有极值时求岀最值;( 1【) 记 fo(x)=x 2-
2、aox+bo,求函数 |f(sinx)-fo(sinx)|ffi -,匚上的最大值 D; 2 2 (III) 在( II)中, 取 ao=bo=O,求 z=b-满足条件 DW1 时的最大值 . 4 解析 :( I ) 设 t=sinx,则 t=sinx 在, 兰) 上递增 , f (t) =t 2-at+b(-l2 时,f (t)在(-1, 1)上递减 = 2 2 f(sinx)在(- 兰, 兰)内递减,无极值; 当aW-2 时, f(t)在(- 1, 1)上递增 =f(sinx)在(- 兰,兰 ) 内递增,无极值; 当 -2 D= | ap | +1 b-bo I ; 2 2 2 (III)
3、 当 二 b。二 0 时,由 DW= |a| + |b| Win | b| W1 = bWl = z二 b-? WbWl,且当 a=0, b=l 时,z=l=z 的最大值为 1. 4 点、评 :三角函数具有丰富的性质,如单调性、有界性和对称性等;利用三角函数的性质,或包装,或复合出常规函数,或常规 函数的性质,是高考命题方向之一. 同类试题 : 1. (2007年安徽高考试题 ) 设函数 f(x)=-cos 2x-4ts in-cos- +4t?+-3t+4, x W R,其中 111 W 1, f (x)的最小值记为 2 2 g(t). (I )求 0 仕)的表达式; ( II)讨论 g(t
4、)在区间内的单调性并求极值. 2. (2007年辽宁高考试题 )已知函数 f (x) =x 3-9x2cos a +48xcos B +18sinza , g(x) = f (x),且对任意的实数 t 均有 g(l+c) $0, g(3+sint) W0. ( I ) 求函数 f (x)的解析式 ; (II)若对任意的 mG -26, 6,恒有 f (x) MxJnxTl, 求 x 的取值范围 . 2.基本性质 子题类型II : (2017年北京高考试题 )已知函数 f(x)=e vcosx-x. (I)求曲线 y=f(x) 在点(0,f(0)处的切线方程; ( II)求函数 f(x)在区间
5、0,彳上的最大值和最小值 . 解析 :( I ) 由 f (x) =e xcosxx = f (0)-1, f (x)=e 1(cosx-sinx)-l = f (0)=0 = 切线方程 : y=l; (I)由f (x)=e(cosx-sinx)-l = f n (x)=-2ex sinx = 当 xG 0,才时,f n (x) f (x)在0,守上递减 = 当 x 0, 时,f (x) W f (0) =0 = f (x)在0,上递减 = fn?(x) =f (0)=1;f.tn(x)=f ( . 2 2 2 2 点、评 :由于正弦与余弦三角函数的导函数不仅具有周期性,而且它们之间还具有“对
6、偶性”,因此,利用导数研究含有三角函 数的超越函数,往往需要二次求导,并注意利用三角函数的基本性质. 同类试题 : 3. (2017年山东高考理科试题 ) 已知函数 f (x) =x 2+2cosx, g(x) =ex(cosx-sinx+2x-2),其中 e2. 17828 是自然对数的底 数 ?( I ) 求曲线 y=f(x) 在点(n,f(n)处的切线方程; (II) 令 h(x)=g(x)-af(x) (aeR),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值 . 4. (2012年福建高考试题 )己知函数 f(x)=axsinx-(aGR),且在0,巴上的最大值为口 . 2
7、 2 2 (I ) 求函数 f(x)的解析式; (II)判断函数 f (x)在(0, Ji)内的零点个数,并加以证明. 3. 不等研究 子题类型 III : (2013 年辽宁高考理科试题 ) 已知函数 f (x) = (l+x)e 2 g(x)=ax+ +l+2xcosx.当 xG 0, 1时, 2 (I) 求证:1 -xWf (x) W 丄;( II)若 f (x) g(x) 恒成立,求实数 a的取值范围 . 1 + X 解析 :( I ) 当 xW 0, 1时,由 1-xWf (x) o 1-xW (l+x)e “o (l+x)e 9 (l-x)e; 令 h(t) = (lt)e l,
8、t w -1, 1,则“(t) 二- te,当 te0, 1时,川 (t)W0nh(x)Wh(0)=l; 当 t 丘-1, 0时,F (t) MOn h(-x) 二 h(t) 2h(0)二 1 n h(-x) 2h(x) = (l+x)e J(l-x)e“nl-xWf(x); 又由 f(x)W 丄 o(l+x)W 丄 o (l+x)W/oex+1 成立; 1 +x1+x (II)设 T(x)=f (x)-g(x), 贝!| T(0) =0,所以,由T(x) P0n T (0) POn aW-3;当 aW-3 时, T(x) =f (x)-g(x) 1-x-g(x) =-x - 2 2 (a+l
9、+ +2cosx);令 m(x) =a+l+ +2cosx,则 “r (x) =x -2sinx = rrf (x) =l-2cosx ni(x) W “r (0)=0 = 2 2 m(x) Wm(0)二 a+3W0 = f (x) Mg(x). 综上,实数a 的取值范围是 (- ,-3. 点评: 对关于含有三角函数的超越函数的不等式问题,应掌握如下常见的不等式:当x$0时,sinxWx;当xWO时,sinx Nx;当 x G 0,二吋,二xWsinxWx. 2 x 同类试题 : 5. (2014 年北京高考试题 ) 已知函数f (x)=xcosx-sinx, xE 0, . ( I )求证:
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