33利用导数研究函数的极值和最值(理).doc.pdf
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1、知识要点梳理 一. 函数的极值 1.函数极值定义 一般地 , 设函数f(x)在点X。附近有定义,如果对X。附近的所有的点,都有f(x)Vf(xo), 就说f(xj是函数f(x)的个极大值 , 记作y板人何=f(XQ), xo是极大值点。 如果对X。附近的所有的点,都冇f(x)f(x 0).就说f(xQ是函数f(x)的一个极小值 , 记作 Y 极小血=f(X0,X。是极小值点。极大值与极小值统称为極值. 2.判别几切 ) 是极大、极小值的方法: 若X。满足广(xo) = O,且在的两侧.f(x)的导数异号,则X。是/(X)的极值点, /(%() 是极值,并且如果广 在兀 () 两侧满足“左正右负
2、” , 则兀 () 是广( 力的极大值点 , f(q)是极人值 : 如果广在X。两侧满足“左负右止”, 则。是f 将/(X)的各极值与 f (a)J (b)比较,得出函数 /在a,b上的最值,其屮哉大 的一个是最大值,最小的一个是最小值。 疑难点、易错点剖析 1由极值的定义可知,取得极值的点称为极值点,极值点是白变量的值,极值指的是函数 值。此外请注意以下几点: (i)极值是一个局部概念。由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较是最大或最小 ?并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一
3、个 . (iii)极大值与极小值Z间无确定的大小关系?即一个函数的极大值未必大于极小值,如 3.3 利用导数研究函数的极值和最值 下图所示,册是极大值点,“是极小值点,而/U4)/U1) ? (iv)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 (V)可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点,如函数尸x?在x-0 处 导数为0,但x=0不是极值点。 (Vi)函数在一点X。处有极值,不一?定在该点可导。如函数y=|x|在x二0有极小值,但在 x二0处不可导即导数不存在。 2. 对于函数的最值问
4、题,应注意以下几点: (1)在闭区间d,b上图像连续不断的函数/( 劝在d,b上必有最大值与最小值. (2)在开区问0)内图像连续的函数.f(x)不一定有最大值与最小值. 如函数 /(X)=-在(0,+8)内连续,但没有最大值与最小值; X (3)函数的最值是比较幣个定义域内的函数值得出的;而函数的极值是比较极值点附 近函数值得出的 . (4)函数/( 兀) 在闭区间。 , 方上的图像连续ly I - 不断,是/(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值 的充分条件而非必要条件 ?如函数龙 1 1 ? 一 1 x X -1, J 0, 解得兀 迈或 x 0,取足够小的负数时有/U) 0即ow(l,
5、 +T时,它的极大值也大于0,因此曲线y = f(x) 与尤 轴仅有一个交点,它在( 一0,从而得到关于a的不等式。 解:(I)由原式得/(x) = % 3 - ax2 - 4 兀 + 4a, ? ? ? 无)=3无2 _ _ 4. 山厂( 一1) = 0 得a = q,此时有f (x) (%2 4)(% ), fx) 3%2 x 4. 4 由/-1) = 0得x二一或x二一1 , 当x在一2,2变化时,fx)yf(x)的变化如下表 X (-2,-1)-1 4 ( 七) 4 3 2) Fx)+ 00+ FO)递增 9 极大值? 2 递减 极小值 50 “27 递增 4 50 Q ? ? /(
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