33利用导数研究函数的极值和最值(理).docx.pdf
《33利用导数研究函数的极值和最值(理).docx.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《33利用导数研究函数的极值和最值(理).docx.pdf(12页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 3.3利用导数研究函数的极值和最值 知识要点梳理 一. 函数的极值 1.函数极值定义 一-般地,设西数f(x)在点X。附近有定义,如果对X。附近的所有的点,都有 f(x)f(x).就说f(x )是函数f(x)的一个极小值 , 记作 工 极小值=f(XQ), X()是极小值点。极大值与极小值统称为极血 2.判别/U()是极大、极小值的方法: 若兀0满足广Uo)= O,且在兀0的两侧 /( 力的导数异号,则兀0是fW的极值点 , /(%0)是极值,并几如果广( 兀) 在兀0两侧满足“左止右负” , 则心是 (兀) 的极大值点 , /(x 0) 是极人值 ; 如果广在兀 () 两侧满足“木负右止”
2、 , 则兀0是f (2)将f 3的各极值与比较,得出函数/(X)在a,切上的最值,其屮最人 的一个是授大值,授小的一个是授小值。 疑难点、易错点剖析 1由极值的定义可知,取得极值的点称为极值点,极值点是口变量的值,极值指的是函 数值。此外请注意以下几点: (i )极值是一个局部概念。 由定义可知, 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较是最大或最小 ?并不意味着它在函数的整个的定义域内最人或最小. (ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极人值或极小值可以 不止一个 . (iii)极大值与极小值Z间无确定的大小关系 ?即一个函数的极大值未必大于极小值, 如 下图所示
3、,州是极大值点,兀是极小值点,而/(x 4)/(xJ ? (iv)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数収 得最大值、最小值的点对能在区间的內部,也可能在区间的端点。 (V)可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点,如函数y=x?在x=0 处 导数为0,但x=0不是极值点。 (Vi)函数在一点xo处有极值,不一定在该点可导。如函数y=|x|在x=0有极小值,但在x=0 处不可导即导数不存在。 2.对于函数的最值问题,应注意以下儿点: (1)在闭区间a,b图像连续不断的函数 /( 兀) 在。 , 方上必有最人值与最小值. (2)在开区间(d,b)内
4、图像连续的函数于( 对不一定冇最大值与最小值. 如函数 /(%) = -在(0,+8)内连续,但没有最大值与最小值; X (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;而函数的极值是比鮫极值点附 近函数值得出的 . (4)函数/(x)在闭区间上上的图像连续不断, 是/(x)在闭区间a.b上启最大值与最小值的充分 条件而非必要条件 . 如函数 X . X 0,解得兀 迈或 X 0,取足够小的负数时有/(%) 0即ow(l, +呵时,它的极人值也人于0,因此曲线j = /(x) 与兀轴 仅有一?个交点,它在( 一 I 丄) 上。 3 ?当a e (-oo,一 ) U(l, +8)时,曲线y =
5、 /(x)与兀轴仅有一个交点。 27 考点二求函数的最值 考例2?已知a为实数 ,f(x) = (x 2 -4)(x-a) (1)若广(-1) = 0,求.f(Q在2, 2上的最大值和最小值 ; (2)若/( 兀) 在( 一 8, 2和2, +8)上都是递增的,求a的取值范围 . 思路分析:(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。(2)当函数f(x)在给定的区 间上递增时,则在该区间上恒有fx)0,从而得到关于a的不等式。 解:(I)由原式得 /(兀)=x 3 - ax 2 一4兀+ 4, j (X) 3x 4. 由广( 一1) = 0 得G =丄, 此时有f(x) = (x 2- 4)(
6、兀-),广 = 3X2-X-4. 4 由/(1) = 0 得X 二一或X=1 , 当兀在 -2,2 变化时,厂的变化如下表 X (-2,-1)-1 4 (- 气) 4 3 F3+ 00+ F(x)递增 9 极大值? 2 递减 极小值 50 27 递增 4 50 9 ? / 极小=/( )=方J极大=门-1) 飞,又/(-2) = 0 J(2) = 0, 9 50 所以f(x)在 2, 2 上的最大值为三,最小值为 227 (2)解法一 :fx) = 3x 2-2ax- 4的图象为开口向上且过点(0, -4)的抛物线,由条件 厂( 2) 0,广(2) 0, 即怛蔦J $ ?一20W2. 所以。的
7、取值范围为-2,2 . 解法二:令广 ( 兀)=0即3x 2-2ax-4 = 0, 由求根公式得: a J a 2 十2 z 、 ( 兀1 0, 从而X122, X202, 12 即J y +12 0(或/ 、0,当 OvxMl时,广 ( 兀) 广( 兀) 的变化如下表 (-8, %|) 兀1 U|,X2) 兀2 ( 兀2, +) X L2 广(X) + 0 0 + f(x)递增极人值递减极小值递增 ?/( 兀) 在x = x,处取得极大值,在x = x 2处収得极小值。 当a 20时,x( 0,/(x) 在(兀, 兀2)上为减函数,在 ( 兀2,+)上为增函数 而当x 0 ,当x=0 时,f
8、(x) = 0 所以当“a -1 + J/+1时,/( 兀)取得最小值 (II)当时,/(x)在1,1 上为单调函数的充要条件是% 2 1 即a 1 + Jd ,+1 n 1,解 得a A 4 3 于是/(x)在卜1, 1 上为单调函数的充要条件是6/- 4 3 即Q的取值范围是|-,+oo) 4 考点三利用导数解决函数的综合问题 考例3. (06年深圳市模拟 ) 已知函数fx) = xb的图象与函数g(x)“+3兀+ 2的图象相切, 记F(x) = f(x)g(x). (I )求实数b的值及函数F(Q的极值; (II)若关于x的方程F(x) = k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围 .
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 33 利用 导数 研究 函数 极值 docx
链接地址:https://www.31doc.com/p-5615174.html