33高考数学复习一本全33.doc.pdf
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1、高考数学复习一本全 前言. 2 第一章 高中数学解题基本方法 . 3 、配方法 . 3 二、换元法 7 三、待定系数法 . 14 四、定义法 . 19 五、数学归纳法 . 23 六、参数法 . 28 七、反证法 . 32 八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法. 十一、类比与归纳法. 十二、观察与实验法 第二章高中数学常用的数学思想. . 35 一、数形结合思想 35 二、分类讨论思想 41 三、函数与方程思想 47 四、转化(化归思想 54 第三章高考热点问题和解题策略. . 59 一、应用问题 59 二、探索性问题 65 三、选择题解答策略. 71 四、填空题解答策略. 77 附录
2、. 一、高考数学试卷分析 二、两套高考模拟试卷 三、参考答案 前 言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来, 只有对 数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含 着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高 数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参
3、数法、消去法等; 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎 等; 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容, 可以用 文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是 一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握 数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对 你起作用
4、。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的 特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌 握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本 方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特 殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程
5、思想、数 形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点 问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性 题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题 进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综 合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 第一章 高中数学解题基本方法 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未 知的联系,从而化繁为简。
6、何时配方,需要我们适当预测, 并且合理运用“裂项” 与“添项”、“配” 与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含 有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项 的二次曲线的平移 变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a ?+2ab+b2,将这个 公式灵活运用, 可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b2 = (a+b) 2 2ab= (ab) 2 +2ab; b/J a 2 +ab+b2 = (a+b) 2 ab= (ab) 2 +
7、3ab= (a+ ) 2 + (_b) 2; J 乙 a 2 +b2 +c2 +ab+bc+ca= (a+b)2 + (b+c)2 + (c+a) 2 J a 2 +b2 +c2 = (a+b+c) 2 2(ab+bc+ca) = (a+bc) 22(abbe ca) =? 结合其它数学知识 和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 2 l + sin2 a =l+2sin a cos a = (sin a +cos a ) ; x2 + A- = (x+ 丄) 2 2= (x丄)+2 ; 等等。 x x x I、再现性题组: 1.在正项等比数列a” 中,a t *a5 +2a3 *a5 +a3
8、 *a7=25,则a3 +a5 = _ 。 2.方程x 2 +y 2 4kx2y+5k=0表示圆的充要条件是_ 。 A. |l C. kGR D. k=或k=l 3.已知sin4a +cos 4 a =1,则 sin a +cos a 的值为 _ 。 A. 1 B. 1 C? 1 或1 D. 0 4.函数y=log| (-2X 2+5X +3)的单调递增区间是 _ 。 2 A. 一 8, 咅 B. 扌,+8) C. ( I,| D. 号,3) 5.已知方程x 2 + (a-2) x+a-l=0 的两根x、x2,则点P (x j , x 2)在圆x 2+y 2=4 Ji, 则实数a= _ o 【
9、简解】 1小题:利用等比数列性质az/J_/?aw+p=azn2,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易 求。答案是:5o 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 + (y-b)2=r2,解 0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin2 a +cos 2 a) 2 2sin2 a cos 2 a =1,求出 sin a cos a,然后求出所求 式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-VH o II、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对
10、角线长为 _ 。 【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x, y, z , 则 , 而欲求对角线长厶2 +,2 + z2 ,将其配凑成两已知式的组合形 式可得。 【解】设长方体长宽高分别为x, y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长 (2( xy + yz + xz) = 11 4( x + y + z) = 24 长方体所求对角线长为:yjx 2 + y2 + z2 = + y + z) 2 - 2(xy + yz + xz)= A/62 -11 =5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个 数学式,容易发现使用
11、配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我 们使用配方法的一种解题模式。 例2.设方程x 2+kx+2=0 的两实根为p、q,若(-) 2 + (-) 27 成立,求实数k q P 的取值范围。 【解】方程x 2 +kx+2=0 的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=k, pq=2 , ( ) 2 +( _ )2 =卢+q4 = (p? +q2) 2 _2p2q2 = (p + q)22pq2内2 = q p (pqY(w) 2 (w) 2 (R _f) _8 W7, 解得或kMjiU o 4 又?p、q为方程x 2+kx+2=0 的两实根, ?=k?-8工0即kM2
12、血 或kW- 2V2 综合起来,k的取值范围是:一JiOwkW-2血 或者2血WkWjid。 【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“” ;已知方程有两根时, 可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想 到先通分后配方,表示成p + q与pq的组合式。假如本题不对“”讨论, 结果将出错,即使有些 题目可能结果相同,去掉对“”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和 重视。 例3.设非零复数a、b 满足a 2+ab+b2=0,求(-) 1998 + (-) 1998。 a + b a + b 【分析】对已知式可以联想:
13、变形为( 2 + (y)+l=0, 则? = 3 (3 为1的立b b b 方虚根;或配方为(a+b) 2 =ab 0则代入所求式即得。 A. 23 B. V14 C. 5 D. 6 J 2( xy + yz + xz) = 11 4( x + y + z) = 24 度之和为24”而得: 【解】由a 2+ab+b2=0 变形得: ( ?) 2 + (?)+1=0 , b b a1 b 设 3 = 丁,则3 + u)+l=0,可知 3 为1的立方虚根,所以:一= b co a 或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有
14、某种 确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待 定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用 待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方 程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: 利用对应系数
15、相等列方程; 由恒等的概念用数值代入法列方程; 利用定义本身的属性列方程; 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式, 其中含 有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方 程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。 I、再现性题组: X 1. _ 设f (x) = y+m, f(x)的反函数f _l (x) =nx5,那么 m、n的值依次为 _ 。 5555 A. , 2B. , 2 C.,2 D. -,-2 2222 2.二次不等式ax?+bx+20的解
16、集是 ( , 则a+b的值是o A. 10 B. -10 C. 14 D.-14 3.在(1-x 3) (1+x) “的展开式中,x的系数是 _ 。 A. -297 B. -252 C. 297 D. 207 31 4.函数y=abcos3x (b b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,要 抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e) 不变,本题就利用了 这一特征,列出关于a-c的等式。 一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程 ( 或几何 数据)T 几何条件转换成方程T求解 T 已知系数代入。 * 0 n(n
17、 +1) 例3.是否存在常数a、b、c,使得等式1? 22+2? 3? + +n(n+l) 2 = (an 2 14 +bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。( 89年全国高考题 5x 2 + 4V3x +1 $ * 尸宀1或者尸 矿+ 4/3% + 5 x 2 +1 a = VTo 解得: 厂b = /5 如下列式:0, 7x0, x0o 4 设V=(15aax) (7bbx)x (a0, b0) cib a b + l = O 要使用均值不等式,则F , ja-ax =/b-bx = x 13 解得:a = , b= 9 x = 3 o 4 4 15 21 64 15 21 3、
18、64 z J + 3 64 v=T( 7-7 )( T-r )xl,则a的取值范围是_ 。 A. 2a丄且a=#l B. 02 或 2 2 0l C. a0 D. al x2 b 5 4 ?椭圆 + 2= 1上有一点P,它到左准线的距离为了,那么P点到右焦点的距离为O 75 A. 8 C. 7.5 C. - 4 D. 3 T 则f ()的值为 _ 乙 D.不能确定 5.奇函数f(x)的最小正周期为T, T A. T B. 0 C. 6. _ 正三棱 台的侧棱与底面成45角,则其侧面与底面所成角的正切值为_ 【简解】1小题:利用并集定义,选B; 2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B; 3小
19、题:利用复数模的定义得7 2+22 0 得:0 V2 , X , 2 +x 22 ?:( X +x ? ) ( X 2 +x 2 :.f (x,) f (x2)0即f(x)在( 一亍,1)上是减函数 3/2 ? V2X = 1 C 此题文科考生的第二问为:假设AB,丄BC,, BC=2,求AB ,在侧面BBCC的 射影长。 解 答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。 其解法如下:作AE丄BC于E,连接B,E即所求,易得到OEB,B,所以算 = = 补 BF B B 2 1 , 1 , EF=-B ,Eo 在RtABE中, 易得到BF丄BE,由射影定理得:B
20、EXEF=BE即qBE=l, 所以BE=J 。 例4?求过定点M(1, 2),以x轴为准线,离心率为+的椭圆的下顶点 的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离 为2o抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到罗=建立一个方程, 义建立一个方 程。 【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(l,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到 准线距离为 y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到: 所以椭圆下顶点的轨迹方程为( X-1) 2+ 3 =lo 【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件, 根据条 件列出动点所满足的关系式,进
21、行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方 程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧 妙地运用了椭圆的统一性定茨和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问 题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲 线、抛物线的两个定义的恰当选用。 III、巩固性题组 : 1.函数y=f(x)=a“+k的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4, 0),则f(x) 的表达式是。 2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影 分别为A|、B,则ZAFB
22、等于 _ 。 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 3.已知A=0, 1, B=x|xoA,则下列关系正确的是 _ 。 A. AoB B ? AoB C? AEB D. A gB 4.双曲线3x 2-y2=3 的渐近线方程是 _ o A. y= 3x B. y=lx C. y= V3x D. y=逅x 3 3 5.已知定义在R上的非零函数f (x)满足f (x+y) =f (x) +f (y),则f (x)是 _ 。 A.奇函数B.偶函数C?非奇非偶函数D.既奇既偶函数 再由离心率的定 7( x-l) 2 +(m-2)2 =| X2 m- y 1 消m得: (x-1) 2 + Z=
23、4(sinl40 - i cosl40 ),则复数丄的辐角主值是 不等式ax2+bx+c0的解集是(1,2),则不等式bx2+cx+ab0)的两个焦点,其中F,与抛物线y2=12x a 2 b 的焦点重合,M是两曲线的一个焦点,且有cosZMF ?COSZMF2F1=寺, 求椭圆方程。 五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理 两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的 性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对 象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用
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