33应用导数研究函数的极值和最值(理).docx.pdf
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1、 3.3利用导数研究函数的极值和最值 知识要点梳理 一. 函数的极值 1.函数极值定义 一?般地,设函数f (x)在点X。附近有定义,如果对X。附近的所有的点,都有f (x) f (xo), 就说f (x()是函数f (x)的一个极大值 , 记作y极人俩=f (xQ, Xn是极大值点。 如果对x()附近的所有的点,都有f (x)f (x0).就说f (xQ是函数f (x)的?个极小 值, 记作丫极小值二f (x) , X。是极小值点。极人值与极小值统称为极值. 2.判别/ (必)是极大、极小值的方法: 若兀。满足厂(勺)=0, 在兀。的两侧 / (兀)的导数异号,则心是/ (X)的极值点, /
2、 (x0)是极值,并且如果fx )在兀。两侧满足“左匸右负”, 则兀。是f (力的极大值点 , / (兀0)是极人值;如果广(尢)在心两侧满足“左负右正”, 则X。是f (兀)的极小值 点,/ (X o) 是扌及小值 . 3.求可导函数人兀)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,导数厂(力? 求方程f (x)=0的根. 用两数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若丁小开区间, 并列成表格 . 检查f (力在方程根左右的值的符号, 如果左止右负 , 那么/ 在这个根处取得极大值;如果左负 右匸, 那么人劝在这个根处取得极小值;如果左右不改变符巧, 那么/U)在这个根处无极值 . 二. 函数
3、的最大值与最小值 1.函数的最大值与最小值: 在闭区间a,b 上图像连续不断的函数f(力在 / 引上必冇最大值与最小值. 2. 利用导数求函数的最值步骤:设函数/ (兀)在在(a, b )内可导,在闭区间。, 引 上图 像连续不断,求函数/ (兀)在。 , 切上的最人值与最小值的步骤如下: 求f (x)在(a,b )内的极值 ; 将f (兀)的各极值与比较,得出函数/ (x)在a,b 上的最值,其屮最人 的一个是最大值,最小的一个是最小值。 疑难点、易错点剖析 1由极值的定义町知,取得极值的点称为极值点,极值点是口变量的值,极值指的是函 数值。此外请注意以下儿点: (i)极值是一个局部概念。由
4、定义可知,极值只是某个点的函数值打它附近点的函数 值比较是最大或最小 ?并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值町以 不止一个 . (iii)极人值与极小值Z问无确定的人小关系 ?即一个函数的极大值耒必大于极小值, 如 下图所示,州是极人值点,兀4是极小值点,而/U4)/U|) ? (iv)曲数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 (V)可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点,如函数尸X在X二 0 处导数
5、为0,但x=0不是极值点。 (Vi)函数在一点xo处有极值,不一定在该点可导。如函数y=|x|在x=0有极小值,但在x=0 处不可导即导数不存在。 2 . 对于函数的最值问题,应注意以卜儿点: (1)在闭区间a.b,上图像连续不断的函数/( 幻在a,b.上必冇最大值与最小值. (2)在开区间(d,b)内图像连续的函数 /( 对不一定冇最大值与最小值. 如函数 f (x)=丄在(0,+ )内连续,但没有最人值与最小值; x (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;而函数的极值是比较极值点 附 近函数值得岀的 . (4)函数于 ( 兀)在闭区间a,b 上的图像连续 不断,是 /( 兀)
6、在闭区间。 , 乩上有最人值与最小值的充分条件而非必耍条件. 如函数 -x -l,|x 0, 解得x 近或x 0即dw(l, +呵时,它的极大值也大于0,因此曲线y = f(x) 与兀 轴仅有一 ?个交点,它在( 一 I 丄)上。 3 ?当OW ( 一 8, 一- ) U(l, +8)时, 曲线y = f(x)与兀轴仅有一个交点。 27 考点二求函数的最值 考例2. 已知a为实数,f(x) = (x 2 -4)(x-a) (1)若厂(-1) = 0,求/( 兀) 在一2, 2 上的最大值和最小值; (2)若/( !) 在( 一 8, 一2和2, +8)上都是递增的 , 求a的取值范围 . 思路
7、分析:(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。(2)当函数f(x)在给定 的区间上递增时,则在该区间上恒冇/U)0,从而得到关于a的不等式。 解:(I)由原式得f(x) = x 3 - ax2 -4x + 4a, . ? x) = 3x 2 -2ax-4. 由厂(一1) = 0 得d =丄, 此时有f(x) = (x 2 - 4)(%- ), fx) = 3x 2 -x-4. 4 由/ , (-1) = 0得兀二一或X二一1 , 当兀在-2,2 变化时, . 厂(切 ,/ (兀)的变化如下表 X (-2,-1) -1 (- 中 4 3 唇2) F?)+ 0 0 + F(x)递增 9 极大值
8、二 2 递减 极小值 50 27 递增 4 50 9 ? / 极小=/ () =方J(兀)极大=/ (-I )二亍又门刀 =丿=0, 9 50 所以f (x)在 2, 2 上的最大值为最小值为 2 27 (2)解法一:fx ) = 3x 2 - lax - 4的图彖为开口向上且过点(0, 4)的抛物线,由条 件 得 厂(2) 0,厂 0, 即也蔦 | Q?-2EW2. 所以。的取值范围为-2,2 . 解法二:令厂(兀)=0即3/_2兀一4 = 0, 由求根公式得: a土Jef +2 .、 ?1.2= - - (旺 v 兀2) 所以fx ) = 3x 2 - 2ax-4.在(一汽為和比 ,* 0
9、0)上非负 . 由题意可知,当xW 2或xM2吋,fx ) 0, 从而xi$ 2, X2W2, /-2 即J y +12 0(或f ?( % )0,当 0 x 1时,/ z(x) 0,/(x) 在( 兀i ,)上为减函数,在 ( 兀2,+)上为增函数 而当兀v0 时f(x) = x(x-2a)e x 0 ,当 x=0 时,/(x) = 0 所以当兀二-1 + 如+1时,于 ( 兀) 取得最小值(II)当时, /( 兀) 在一1,1 上为单调两 数的充要条件是x2 1 即a-l + J/+ini,解得a- 4 3 于是/(%) 在卜1, 1 上为单调函数的充要条件是?- 4 3 即Q的取值范围是
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