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1、(2013四川自贡,22, 12分)如图,在东西方向的海岸线/ 上有一长为lkm的码头那在 码头西端必的正西19. 5km处冇一观察站,某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 处的 北偏西30且与畀相距40畑的处,经过1小时20分钟,又测得该轮船位于M处的 北偏东 60且与A处相距8/J km的C处. (1)求伦船航行的速度;(保帘精确结果) (2)如果该轮船不改变航向继续航行, 那么轮船能否正好至码头廳V靠岸?请说明理 由. 解:由题意可得ZBAC=90 , :.BC=yj40 2 +(8 巧=16“, ?轮船航行速度为160冷=12衙. 在RtABDA 中,AD=ABsinZBAD=20,
2、 DB=ABcosZBAD= 20?3 , 在RtAACE 中,CE=ACsinZCAE=4V3 , AE=ACcosZCAE=12, VBDJLJ, CE 7 , ?BDCE,则冇ZXFDBSAFEC, 即上耳 =解得EF=8, BD FD 203 EF+20+12 ?AF=AE+EF=20. VAM=19. 5, AN = 20. 5, .*.19. 5/3 ,令y=0,贝ij x = 20, A A 19. 5/2 =1.414. 【答案】解:(1) a =76 ? (2)过点E作EG丄FB,垂足为G,过EF的中点O作OH丄FB,垂足为H,如图1, ?.*OH= 1. 9,: ? EG=
3、2OH=3. 8, ?E点的高度为3. 8米. (3)延长AE交直线PB于G,如图2,设AG=x f 在RtAgAG 中, tan ZAQG = , 得QG= x , QG3 在RtAMG中, tan ZAPG = - , 得PG= x . PG ?PQ+QG=PG, :.AE5. 7. ?旗杆AE的高度是5? 7米. 22? (2014 浙江省绍兴市, 22, 12 分)(12分) 如果二次函数的二次项系数为1,则此二 次函数可 表示为y = x 2 + px + q , 我们称p,切为此函数的特征数,如函数y = /+2x + 3 的特征数是 2, 3. (1)若一个函数的特征数为一2,
4、1,求此函数图彖的顶点坐标. (2)探究下列问题: 若一个函数的特征数为4, -1,将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个 单 位,求得到的图象对应的函数的特征数; 若一个函数的特征数为2, 3,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图彖对应 的函数的特征数为3, 4? 【答案】解:(1)由题意,得y = 2兀+ 1 =任一1严, ?特征数为-2, 1的函数图象的顶点坐标为(1, 0). ?4+ V3 3 解得兀9. 46. (2)特征数为4, 1的函数为y = x 2+4x-, 即y二( 兀+ 2尸一5, ?两数图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位, ?歹=(兀 + 2
5、1)25 + 1,即y = x 2 + 2x-3. ?特征数为2, 一3? 特征数为2, 3的函数为y = 兀+3,即丁 =( 兀+1尸+ 2, 3 7 特征数为3, 4的函数为y = x 2+3x+4, 即y = (x+) +, 2 4 ?所求平移为:先向左平移丄个单位,再向下平移丄个单位. 2 4 注意:符合题意的其他平移,也正确. (2014四川泸州,22, 8分) 海中有两个灯塔A、B,其中B位于4的正东方向上,漁?船 跟踪鱼 群由西向东航行,在点C处测得灯塔力在西北方向上,灯塔B在北偏东30方向上 , 渔船不改 变航向继续向东航行30海里到达点D这时测得灯塔A在北偏西60方向上,求灯
6、塔A、B间 的距离 .( 计算结果用根号表示,不取近似值) 【答案】解:作CE丄A3于点E, 4F丄CD于点F, A ZAFC=ZAEC =90 . V ZFCE=90 , ZACE =45 , ?四边形AFCE是正方形 . 设AF=FC=CE=AE=x f 则FD=A+30, AF ?.* tan D =,ZAFD=90 , ZD=30 , FD r A = ,解得15命+ 15, 3 兀+ 30 AAE=CE=15V3+15. BE V tan ZBCE = , ZCEB=90 , ZBCE=30 , CE .?MB=AE+BE=15V3 + 15 + 15 + 5V3=20V3+30.
7、?观 =BE ? 3 15A/3 + 15 解得BE=15 + 5A/3 . 23. (2014四川泸州 ,23 , 8分)已知西、忑是关于兀的一元二次方程x 2 2(m +1)兀+加 $ +5 = 0的两个实数根 . (1)若(西一1)(兀2 -1) = 28,求加的值; 己知等腰AABC的一边长为7,若召、勺恰好是 ABC另外两边的边长,求这个三角形的周 长. 【答案】解:(I)“、乞是关于兀的一元二次方程x 2-2(m + )x + m2+5 = 0 的两个实数根 ?严 +吃“(加+ 1) x x2 =m2 +5 乂?(旺一1)(兀2-1) = 28, ( X - l)(x2 -1) =
8、 XjX2 -x, -X2 +1 = xx2 _ ( 兀1 + 兀2 ) + =m 2 +5 2(m + 1) + 1 = m2 +5 2 m 2 + 1 = m2 2m 4- 4=28, 即m 2 一2m - 24 = 0 , m=-4或6. 又J = 2(加 +1) 2 - 4(m2 4-5)= 4(m +1)2 4(m2 + 5) = 4m 2 + 8m + 4 - 4m2 - 20 =8m 16 0,?加2, ? S=6. (2) 772=6, x+ Xj = 2(m +1) = 2 x (6 +1) = 14 , ?三角形的周长为7+14=21. (2014 四川省广安市, 23,
9、8 分)为邓小平诞辰110周年献礼,广安市政府对城市建设进行 了整改 . 如图8,己知斜坡 A3长 60 血米,坡角(即ZBAC )为45 , BC丄 4C,现计划 在斜坡中点D 处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线CA的休闲平台 DE和一条新的斜坡BE(下面两个小 题结果都保留根号) . (1)若修建的斜坡BE的坡比为侖 :1,求休闲平台的长是多少米? (2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG=33米),小亮在D点测得建筑物顶部H的 仰角(即ZHDM )为30. 点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一 条直线上, 且HG丄CG,问建筑GH高为多少米? H 【答案】解:解:
10、(1) TBC丄AC, ZBAC=45 , ? ABC为等腰直角三角形 . 9:DE/AC, :?HBDF为等腰肓角三角形 . VAB=60 /2 , ?AC=BC=60. ?这AB的中点, : ? BD=30近? :.BF=DF=30. ?BE的坡比为 / 亍:1, ? ZBEF= 60 . :.EF= =牛=10? V3 V3 :.DE=30-EF=300y/3 . 答:休闲平台DE的长为(3010希)米 . (2)过D作DP丄AC于P, DM丄GH于M,则四边形GPDM为矩形. ?/为43的中点, :.AD=-AB=30y/2 . 2 :.AP=DP=GM=30 ? ?MD=GP=33
11、+ 30= = 63. 小“ HM rlll HM V3 ? tan /HDM = - ,即 - =, HD 63 3 HM = !L = 2 羽. 3 :.GH=GM+HM=(30+21 爺)(米)? 答:建筑物GH高为(30+21的)米 . ?( 2014 陕西省, 20, 8 分) 某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条和的大致宽度,两人在确保 无安全隐患的情况下, 先在河岸边选择了一点B (点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D所确 定的直线垂直于河岸) . 小明在 B点面向树的方向站好, 调整帽檐, 使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处,如 图所示,这时小亮测得小明
12、眼睛距离地面的距离AB=1.7 米; 小明站在原地转动180。 后蹲下, 并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点 E处,此时小亮测得BE=9. 6 米,小明的眼睛距地面的距离 CB=1. 2 米. 根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽是多少米? ?ZABD=ZABD=90, :./BADs 厶BCD. .BD AB ?丽方? .BD 1.7 ?*97 = L2- ? BD=13 ?6. ?河流的宽D是 13. 6 米. (2014山东省烟台市,21, 7分) 33 小明坐于提边垂钓, 如右图,河堤AC的坡介为30 , AC的长为2
13、米, 钓竿Q4的倾斜 角是60, 其长为3米,若OA与钓鱼线的夹角为60, 求浮漂B与河堤下端C 之间的距离 . 【答案】解:延长04交直线BC于点D ?(”的倾斜角是60 , B : .ZODB=60 , ZACD=30 , ZC4 =180 -ZODB-ZACD=90 a . 在RtAACD屮,AD=AC?如ZACD=错误!不能通过编辑域代码创建对象。(米) :.CD=2AD=3米 又VZO = 60 ? BOD为等边三角形 . 3 :.BD=OD=OA+AD=3+ 2 =4. 5 米 ;?BC=BD CD=4. 5 3 = 1. 5(米) 答:浮漂B与河堤下端CZ间的距离为1. 5米.
14、(2014 山东省临沂市, 13, 3 分)如图,在某监测点B处望见一艘止在作业的渔船在南偏 西15方向的A处,若渔船沿北偏西75。方向以40海里/ 小吋的速度航行,航行半小吋后到达 C处,在C处观测到在C的北偏东60方向上,则3, C之间的距离为() A. 20海里B. 10的 海里C. 20血海里D. 30海里 第13题图 【答案】C (2014山东省青岛市,20, 8分) 如图,小明想测山高和索道的长度. 他在B处仰望山顶A , 测得仰角ZB = 31 ,再往山的 方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角Z/1CE= 39 . (1 )求这座山的高度(小明的身
15、高忽略不计); (2 )求索道AC的长(结果精确到0.1m ). 3 19 7 (参考数据:tan31- , sin31- , tan39 , sin39) 5 2 11 11 ( 第20题) 【答案】解 :(1 ) 过点A作DLBE于D , 设山AD的高度为xm , 在RtAAD 中,ZADB = 90 , tan 31 3 3 在RtAACD 中,ZADC= 90。, 1 1 ? BC = BD-CD 5 11 x - x 3 9 解这个方程 , 得兀= 180. 即山的高度为180 米. tan39 = AD CD tan31 = AD BD =80 (2 )在RtAACD 中,ZADC
16、 = 90 , sin39 = AD AC .(2014年山东东营,22, 8分)(满分X分)热气 球的探侧器显示,从热气球底部4处看一栋高楼顶部的仰角为 30。,看这栋楼底部的俯介为 60 ,热气球A处?高楼的水平距离为120im这栋高楼有多高(能 1? 732,结果保留小数点后一 位)? 【答案】解:如图,过点4作AD丄BC ,垂足为 Q 根据题意,可得ZBAD = 30, ZCAD = 60 , AD = 120 BD 在RtAADB 中,|l|tanZBAD = 得: AD BD = ADaan 上BAD = 120x tan30 = 120x = 40的 3 CD 在RtA/lDC
17、中,ill tan ZCAD = 得: AD CD = AOTan ZCAD = 120xtan 60 = 120xV3 =1203 ? BC = BD + CD = 403 +1203 = 1603277 答:这栋楼高约为277.1m. . (本题6分)(2014黑龙江哈尔滨市,24, 6分)如图,A3、CD为两个建筑物,建筑 ? 282.9 (米) . 1 1 答:索道AC长约为282.9米. 07 00SaofusSBiss 3 Dm- s n nFisss 昌 33S33n s nisQIQG 物AB的高度为60m,从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角ZEAC为30,
18、测 得建筑物CQ的底部点的俯角ZEAD为45 . (1) 求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度; (2)求建筑物CD的高度(结果保留根号). 【答案】解:根据题意得BD/AE, :.ZAPB=ZE4D=45 . 分 V ZABD=90 , : .ZBAD=ZADB=45 . . 1 分 :.BD=AD=60(米)? ?两建筑物两底部Z间的水平距离BD的长度为60米. . 1分 (2)延长AE、DC交于点F,根据题意nJ知四边形ABDF是止方形, :.AF=BD=DF=60 1 分 CF 在RtAAFC 中,ZMC=30 , 由tanZCAF=,得 AF CF=AFtan Z CAF= 60
19、tan30 =60 X 乂VPF=60, .?.CD=60-20A/3 ? ?建筑物CD的高度为(6020希)米 . . 1分 第24题图 3 (2014 常德市, 22, 7 分)如图 9, A, B, C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB, BC表示连接缆一车站的钢缆. 已知A, B, C所处位置的海拔BB, CCP分別为160 米,400 米,1000米,钢缆AB, BC分别与水平线必2,BE?所成的夹角为30。,45 , 求钢缆A3 和BC的总长度 . (结果精确到1米) 【答案】解:在RtAABD中,BZ400T60=240, Z84*30。 1 分 贝ij AB=2BD=
20、480 m. 3 分 在RtABC% 中,CB2=1000 400=600,ZCBB2=45 O . 4分 则CB=600 y/2 m. 6 分 所以43+BC=480+600 近 M328 (米) 答:钢缆和BC的总长度约为1328米. 7分 (2014 辽宁省铁岭市, 23, 12 分)如图,小丽假期在娱乐场游玩时,想要利用所学的数学知 识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度,她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30。, 然 后,她沿着坡度是=1 : 1 (即 : 1)的斜坡步行15分钟到达C处,此时,测得A点 的俯角是15。. 已知小丽的步行速度是18米/ 分,图中点A、B、E、D、C在同
21、一平而内,且点 D、E、B在同一水平直线上 . 求出娱乐场地所在山坡AE的长度 . (参考数据: V2 1.41,结果精确到0.1米) (第23题图) CD 【答案】解:如图,过E作EF丄AC.在Rt/XCDE中,V ZD=90 , i=tanZCED= =1 : DE 1, A ZCE/45 , *:CK/DB,:. ZKCE=ZCED=45 f :. ZECF=ZKCEZKCF=3O 0/ :EF丄 AC, EF 1 .?- ZEFC=ZEM=90 ,二在Rt/CDE屮,sinZECF= =-, 又V C =l8X 15=270 (米), CE 2 ?35. ? ? Z CEF=90 -
22、Z ECF=60 , ZAEB=30 , ZAEF=180 - ZAEB- Z CEF- Z CED=45。,?在屮,EF=AEXsinZAEF=-41AE, :.AE=yf2 EF=352 90.9 2 (米) . 答:娱乐场地所在山坡AE的长度为190.9米?(2014年辽宁省葫芦岛,23, 9分)如图12, 汕 井A位于油库P南偏东75方向,主输油管道AP =2千米,一新建油井B位于P的北 偏东 75方向,且位于A的北偏西15方向. (1) _ ZPBA 二 ; (2)求4、B间的距离; (3)要在AP上选择一个支管道连接点C,使从B到C处的支输汕管道最短,求这时BC 的 长. (结果保
23、留根号) 图12 【答案】解: (1)如图所示,过点B作BD/FP,由平行线的传递性易得BD/AE, ? BDFP, ?ZDBP=ZFPB=75 Q (两直线平行,内错角相等) 同理可得:上DBA二ZEAB二15 ? “BA 二乙DBP+ZDBA 二 75 +15 = 90 (2)由上图可得 :ZBM=180 -75 -75 =30 ? ZPBA =90 , AP = 2 :.AB= -AP=6 (3)作BC丄AP交AP于点C,此时BC的长度最短 ; 在RAAPB中,ZPBA 二90 , ? AP = 2, AB =6, 由勾股定理得:PB = 6迟, 在RtAPBC中,ZBCP 二90 ,
24、? PB 二6? ZBPC=30 , ?BC=、PB=3壬 2 (2014年辽宁省锦州市, 10 分)如图所示,位于A处的海上救援中心获悉:在其北偏东68 方向的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救. 该中心立即把消息告知在其北偏东30相 距20 海里的C处救生船,并通知救生船,遇脸船在它的正东方向B处,现救生船沿着航线CB前往 B处救援,若救生船的速度为20海里/ 时,请问:救生船到达B处大约需要多长时间?(结果 精确到0.1 小时:参考数据:sin38 QO. 62, cos38 ? 0. 79, sin22 ? 0. 37, cos22匕0. 93, sin37 ? 0. 60, cos3
25、7 ? 0. 80) 答案:解:过点C作G?丄/ 垂足为由题意知ZNAC= 30 ,乙NAB=b%。, MC=20, :.CAB= 38 , Z丽财=90。68 = 22 , T BCW AM, :. Z CBA = ZBAM= 22 . ?仞丄AB, /. 乙ADC=乙CDB= 90 . 在BCD中skZCBD= , CB :.CB= CD sinDCBD 33.51 , 答:救生船到达处大约需要1.7小时. (2014 r西省崇左市, 23, 8 分)中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米. 如 图,某天该深潜器在海面下2000米的人点作业,测得俯角为30正前方的海底C点
26、处有 黑匣子信号发出 ?该深潜器受外力作用可继续在同一深度直线航行3000米后,再次在B 点处测得俯角为45正前方的海底C处有黑匣了信号发出 ?请通过计算判断“蛟 龙”号能否在保证安全的悄况下打捞海底黑匣了. (参考数据75=1.732) 【答案】解:作CE丄4B,交AB的延长线与点E.如图 AE :.AE= = - = V3CE tan ZCAE tan 30 CF tanZEBC= , BE :? BE= CE =_ 卡 tan ZCBE tan 45 TAB=AE BE ? y/3CECE=3000 A CE= 1500 (V3+1) 1500X2.732=4098 即点C距海面的深度?
27、4098 + 2000?6098 V7062.68 ?蛟龙”号能在保证安全的情况下打捞海底黑匣子 (2014 湖北省潜江、天门、仙桃市,20, 6 分)如图,在坡角为30。的山坡上有一个铁塔 A3,其正前方聶立着一人型广告牌. 当阳光与水平线成45。角时,测得铁塔A3落在斜坡上 的影子的氏为6米,落在广告牌上的影了CD的长为4米,求铁塔AB的高.(AB, CD均少 水平面垂直,结果保留根号) 33.51 20 = 1.7(小时) . rp : 在Rt/ACE屮,tanZEAC= D海面 DFI BF y/3 在RtBFD中,I ZDBF=30, sin ZDBF =一,cosZDBF= = B
28、D 2 BD2 ? BD = 6 , ? DF =3, BF = 33 :AB/CD, CE丄AB,BF丄 CD,则四边形BFCE为矩形, ? BF = CE= 3A/3,CF =BE=CD -DF=1 在Rt/ACE中, ZACE=45 AE = CE= 33 /. AB = 3A/3 + 1 答:铁塔仙的高为(3V3+1 )米 (2014 年湖北省鄂州市, 21, 9 分)(木题满分9分)小方与同学一起去郊游,看到一棵大树 斜靠在一小土坡上,他想知道树有多长,于是他借来测角仪和卷尺. 如图,他在点C 处测得 树AB顶端A的仰角为30 ,沿着CB方向向人树行进10米到达点D测得树AB 顶端A
29、的仰 角为45 ,又测得树4B倾斜角Zl=75 ? (1) (5分)求AD的长:(2) (4分)求树长AB. A 第21题图 【答案】解:(1)如图,过A作AR丄CB于设AH=x, CH=&x, DH=x. ?: CH-DH=CD, V3 xx=10, /.x=5V3 +1). V ZADH=45 , :.AD=42x=5j6 + 5y/2 ? (2)如图,过B作BM丄AD于M. VZ1=75 , ZAZ)B=45 , : .ZDAB=30. 设MB=m, .*.AB=2m f AM=羽tn, DM=m. 9:AD=AM+DM, :. 5A/6 + 52 =y/im+m. ?: m=5V2 ?
30、 ?: AB=2m= 10/2 ? A 第21题答图 (2014贵州省遵义市 ,21, 8分)如图 , 一楼房AB后有一假山 , 其坡度z = l:V3 ,山坡坡 面上E点处冇一休息亭, 测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭了距离CE=20 米. 小丽从楼房顶测得E点的俯角为45, 求楼房AB的高.(注:坡度 , 是指坡面的铅直高度与 水平宽度的比) 【答案】解:如图作EF丄AB交于点F,作丄BC交于点H *.? z = 1 :A/3 ,? tanZECH=, /.ZECH =30 3 ? BC=25,:. EF=BH= 25 +10 命 ?E点的俯角为45 ,.-.AF= F=25
31、 + 10A/3, BF=EH=0, :.AB=AF-BF=35 +10能(米) 答:楼房AB的高为35+ 10的米. (2014 河南省, 19, 9 分)在中俄“海上联合一2014”反潜演习中,我军舰4测得潜艇C的 俯角为30。, 位丁?军舰4正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68 .试根据以 上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度 . (结果保留整数 . 参考数据:sin68U0.9, cos68U 0.4, tan68 2.5,馆匕1.7) 【答案】解:过点C作CD丄AB,交BA的延长线于点D,则人D即为潜艇C的下潜深度 . 根据题意得ZACD = 30, ZBCD = 68。. 设AD = x,则BD = BA + AD= 1000 + x RtAACD 屮,CD = =- =岳?在RtABCD 屮,BD = CD tan68 . tan ZACD tan 30 B C (第21题 ?毎C 小圖。=20x1=10, ?: 1000 + x = VJx - tan 68 ? ?1000? 。 艸. V3 tan68 -1 1.7x2.5-l ?潜艇C离开海平血的下潜深度约为308米.
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