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1、第三章复变函数的积分 复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质,诸如“解析函数的导函数连续”及 “解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题,却是通过解析函数的复积分表示证明的, 这是复变函数论在方法上的一个特点。同时,复变函数积分理论既是解析函数的应用推广,也是后面留数计算的理论 基础。 3. 1复变函数积分的概念 1 积分的定义 复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明,当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线,其 屮逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向,这里冋顾并作更仔细些的说明:对 于光滑或
2、逐段光滑的开曲线,只要指明了其起点和终点,从起点到终点,也就算规定了该曲线的正方向C;对于光滑或逐 段光滑的闭曲线C,沿着曲线的某方向前进,如果C的 内部区域在左方,则规定该方向为C的正方向 (就记为C),反之,称 为C的负方向 (记为C-)(或等价 地说,对于光滑或逐段光滑的闭曲线,规定逆时针方向为闭111线的正方向,顺时针为方 向为闭曲线的负方向) ;若光滑或逐段光滑的曲线C的参数方程为 z = z(/) = x(r) + iy(t), (a0),则 (z)dz = O,则 C 由变上限积分所确定的函数 F订他)茗 在D内解析,且F(z) = /(z)。其中 5 是D内任一定点,z是D内任
3、一变点。 推论:若 / 在单连通区域D内解析,则由变上限积分所确定的函数 F=/( 皿 在D内解析,且F(z) = /(z)。 定义3.2.2:若在区域 Q内有F(z) = /(z),则称F(z)为/(z)在区域D内的一个原函数,而F(z) + C (C为任意常数 )称 为/(z)的不定积分。 _3.2.5:若/ 在单连通区域内解析 ( 或在定理32.4的条件下 )(z)为/(z)在D内的任 一原函数,则有牛顿一莱布 尼茨公式成立: 茗二I;产 - (z()。 推论:/(z)的任何两个原函数相差一个常数。注明:若G(z), H(z)均为.f(z)的原函数,则 G-H f = G f -H r
4、= f-f( Z) = O ? G(z)-H(z) = c ( 常数) 3 复合闭路定理 下面对柯西积分定理从两个方面推广:一方面是被积函数的解析范围;另一方面是解析区域的连通性。这两个方而 的推广分别表现在下而两个定理中。 定理3. 2.6:设C是一条围线,D为C的内部, /(?) 在D内解析,在闭区域JC连续, 则 J7衣=0。 定义3.2.1:设有+ 1条围线C,G,,C“,其中G,,C”中每一?条都在其余各条的外部,而它们乂全都在 Co的内部。在Co内部同时又在G,,C”外部的点集构成有界的多连通区域D, D以C,G,?,C”为边界。 在这种情况下,称区域D的边界是一条复围线或复合闭路
5、,记为C = C() + C+? +。当观察者在C上行进时,区 域D中的点总在观察者左边的方向称为复围线C的 正方向。 定理3.2.7 (多连通区域的柯西积分定理): 设D是由复围线C = C +C+ C;所围成的有界多连通区域,/ 在D内解析,在D=DJC 上连续,则 式(3. 3. 1)称为柯西积分公式,简称柯西公式。注意其与柯西积分定理(或称柯西定理)在称谓上的 区别。 J7(z) dz = O, c 即 “(z)dz+ J7(z)dz + ?+ J7(z)dz = 0, 5 CC; 或 “dz= “(z)dz + ?+ J7 定理3.2.8 (闭路变形原理): 在区域D内的一个解析函数
6、沿闭曲线的积分,不因闭曲线在Q内作连续变形而改变积分的值,只要在变形的过程中 曲线不经过函数/(z)不解析的点。 dz的值,其中L为包含点0和1在内的任何简单闭曲线 . 2z-l 解:根据函数在复平面内除z = 0, z = l两个奇点外是处处解析的。由于厶包含这两个奇点,乙-z 在乙内作两个互不包含且不相交的正向圆周G, c?,如图3.7, G只包含奇点 = o, c2只包含奇点乙 =1, 那么根据多连通区 域的柯西积分定理得到 f 2z-l z -z r 2z-l 2z-l 2 z 一乙 c,7 dZ + 1 柯西积分公式 1)有界区域的柯西积分公式 = fii+22兀i+ 0 44兀工
7、(倒数第二步的计算参见书P62例3.1.4) 3. 3柯西积分公式 定理3. 3.1 (柯西积分公式) : 设区域D的边界是围线(或复围线)C , /(z)在D内解析,在D = D + C 上连续, 则 (1) 对内任意一点z,有 心=丄如炽(3.3.1) 2刀文z 一 5 (2)/(z)在D内有各阶导数,且 小。)唱1呼山心2)。 (3. 3. 2) 例:计算积分 【注1】:定理3. 3. 1中的围线C可以是复围线,这时C所围的区域D是多连通区域,这时侯(3. 3. 1)式及 (3. 3. 2)式中的积分也就是复围线上的积分。 【注2】:柯西积分公式意味着:一个区域内解析并连续到边界的函数,
8、它在边界上的值决定了它在区域内任一点的值。因 此,人们又称柯西积分公式为解析函数的积分表示式。从柯西积分公式可以看出, 解 析函数的函数值之间有着密切联系。这 是解析函数不同于一般函数的一个显著特征。积分是涉及函数整体性质的一个概念,函数在一点的值应只涉及孤立点、这 一局部,而柯西积分公式却把整体与局部联系起来了。 推论T若满足定理3?3?7条件的 两个解析函数在区域的边界上处处相等?则它in在整个区域上也相等7 例:求下列积分的值 上一dz, C: z + i =1; Jc z + i 解:注意到f (z) = e iz 在复平面内解析,而-2?在积分环路C内,由柯西积分公式得 2)无界区域
9、中的柯西积分公式 上而对柯西积分公式讨论了(1)单连通区域;(2)复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区域, 若遇到函 数在无界区域求积分的问题又如何求解?可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立。 (1)无界区域柯西积分公式 定理3. 3,F (无界区域中的柯西积分公式(当满足忖T8, /(Z)T 0时): 若/(z)在某一闭曲线C的外部解析,并且当|Z|TS,0时,则对于C外部区域中的点Zo, 有 2加工z _ z() 这就是无界区域的柯西积分公式。 例:计算积分 1 兀 i 2 z=3a z -a (2)无界区域的柯西积分公式应用推广 定理3. 3.1-(无界区域中的柯西积分公式(
10、当满足/(z)不趋于零时):假设/(Z)在某一闭曲线厶的外部 解析,则对于C外部区域中的点 “ ,有 dzra 2zii e : 2 = z=-i _ dz _ L(z2-a2)(z-3a) ?设厶为: I z l= 2a (a 0) 1 2 2 解:被积函数 / = Z 一f 在厶外部仅有一个奇点z = 3a ,且当z-3a ZT8时,f?= J 宀 0,满足无界区域的柯西积分公式条件。z -er 故有 _ dz _ _ _ r _ dz 甘/)(z 3d) _ 匸&-/)(z-3d) 4a 2 2 推论 1) 解析函数的无限次可微性 作为柯西积分公式的推广,我们可以证明一个解析函数的导函数
11、仍为解析函数,从而可以证明解析函数具有任意阶 导数。请特别注意:这一点和实函数完全不一样, 一个实函数 / ,(兀) 有一阶导数,不一定有二阶或更高阶导数存在。 定理3?3?2:若函数/(z)在区域 Q内解析,则/(z)在D内有任意阶导数。 2) 解析函数的第二个等价定理 定理3.3.3: 函数/(z) = w(x, y) + iv(x, y)在区域 内解析o (1) wv,wv,vA.,vv在 内连续; (2) u(x,y), v(x,y)在D 内满足C-R 条件。 3) 莫雷拉定理 定理3.3.4 (莫雷拉Morera定理人 若函数/(z)在单连通区域D内连续,且对 Q内的任一围线C,有 J7衣=o, C 则/ 在 Q内解析。 英雷拉定理对单连通区域内的复变函数而言,是柯西积分定理的逆定理。 3 解析函数的第三个等价定理 定理3.3.5: 函数/(z)在区域D内解析 o (1)/(z)在D 内连续; (2)对任一围线C,只要C及其内部全含于 内,就有J/(zWz = 0o 4 柯西不等式 定理3.3.6 (柯西不等 式): 若函数/ 在圆K:z-a 1, aQ丰 0) 必有零点,亦即在复数域中必有根使得方程/(z) = 0成立。 作业: 习题三A类1、2、3、6、8
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