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1、第三节函数的奇偶性与周期性 考情展望1?考查函数奇偶性的判断2利用函数的奇偶性、 周期性求函数值.3. 与函数的对称性相结合 , 综 合考查知识的灵活应用能力. 一、奇( 偶) 函数的定义及图象特征 1.奇、偶函数的定义 对于函数./(X)的定义域内的任意一个X. (1 )/(x)为偶函数o/(_x)=/(x) ; (2)Ax)为奇函数 2.奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于卩轴对称? 1.奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调 性. 2.奇函数图象与原点的关系: 如果奇函数心
2、) 在原点有定义,则/(0) = 0. 二、周期性 1.周期函数:T为函数 . 兀0的一个周期,则需满足的条件: 卩工0; 心土mo对定义域内的任意x都成立 . 2.最小正周期:如果在周期函数心) 的所有周期屮存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做它的最 小正周期 . 周期性常用的结论 对/(x)定义域内任一自变量的值兀: 若Jx + a) = -/(x),则T = 2a; 若代x + a)=盘, 则T= 2a; (4)若对于R上的任意x都有fi2a - x) = /(x),且/(2b - x) =7(x)(其中a0时,. 心)=/+ , 则 / 1) = ( ) A. 2 B? 1
3、C. 0 D. -2 6.( 北京高考 ) 下列函数屮,既是偶函数又在区间(0, +?) 上单调递减的是 ( 1 0 A. B. y=e AC. p= x+l D? 考向一016函数奇偶性的判断 判断下列各函数的奇偶性: 若金 + a)=则T=2a. (2)/(x) = lg(l_F) x-2-T (1)/W = (x+1) 规律方法1 1.本例第题,若盲目化简:./U)= ( X+1)2? | =77门将扩大函数的定义域,作出 错误判断 . 第(2)题易忽视定义域无从入手. 2.判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在定义域关于原点对称的条件下,再化简 解析式,根据 ./(
4、-x)与./( 兀) 的关系作出判断,对于分段函数,应分情况判断. 考向二017函数奇偶性的应用】 -M2 ( 1)设函数心尸吐学土为奇函数,则实数。的值为_ . 已知y=fx)是定义在R上的偶函数,当x20时,/X)=X 2 -2X,则沧) 在R上的解析式为 _ . (3)设偶函数 . 心) 在(0, +呵上为减函数,且/2)=0,则不等式虹单二卫0的解集为 _ . ?A 规律方法2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式,常利用奇偶性构造关于/( X)的方程,从而可得./(x) 的解析 式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用/(x)A -) = 0
5、产生 关于 字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反 . 对点训练( 1)(郑州模拟 ) 已知定义在R上的奇函数 / 和偶函数g(x)满足/(x)+g=a v 厂+2( Q0,且aHl)?若 g(2)=o,则人2)=( ) A. 2 B.普C.# D. cT (2)已知定义在R上的奇函数满足/x)=x 2 + 2r(x0), 若/(3 /)/(2),则实数a的取值范围是 考向三018函数的周期性及其应用 一?例3设. 心)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有. 心+2
6、)=心). 当用0,2时,. 心)=心 (1)求证:./(x)是周期函数; 当兀丘2,4时, 求./( X)的解析式; 计算人0)+./(1)+/(2)+ ?+/(2 015). 规律方法3 (1)本例在求解中先借助周期把区间L2, 4转换到区间-2, 0上, 然后借助奇函数实现-2, 0与0, 2间的转化 . (2)证明一个函数 /( 兀) 是周期函数的关键是借助已知条件探寻使fx+T) = fQ”成立的非零常数7: (3)周期性与奇偶性相结合的综合问题,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号的作用. 对点 训练 已知函数 . 心) 是定义域为R的偶函数,且/(x+l)= /(x)
7、,若沧) 在一1,0上是减函数, 那么. 心) 在1,3上是() A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数 (2)已知函数 /(x)是定义在R上的偶函数,若对于xMO,都冇/(x+2)= 盍, 当xW0,2)时,/(x)=log2( x + 1),则/(-2 013)+/(2 015)= _ . 思想方法之三利用奇偶性求值一一“方程思想”闪光芒 方程思想就是通过分析问题屮的各个量及其关系,列出方程( 纽) 、或者构造方程 ( 组) ,通过求方程 ( 组) 、 或 讨论方程 ( 组) 的解的情况,使问题得以解决. 在函数的奇偶性小,方程思想的具体体现如? K: 函数奇偶性的判断
8、,即验证等式“心)/ (x)=0”是否对定义域中的每个兀均成立. (2)求解析式,在同时含冇心)与/(x)的表达式中,如” (x)+/(X)=Q(“HO)中,常用“一x”代 (3)/(x)= x 2+x x2 + 兀 xQ 式子 中的“疋,重新构建方程,联立求解./(X). (3)求值, 已知如)的值探求几一的值, 其方法如同. 例题:湖南高考)已知7W是奇函数 ,g(x)是偶函数,且./(l)+g(l)=2,/(l)+g(1)=4,则g等 于() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例题:重庆高考)已知函数Ax)=ax 3+bsinx+4(a, ZER), /Clg(log 2l0) =
9、 5,贝*lg (lg 2) = () A?一5 B. -1 C. 3 D. 4 课时限时检测(六)函数的奇偶性与周期性 1.(高考)定义域为R的四个函数y=x 3 y=x 2+1, y=2snx 中,奇函数的个数是() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.函数.Ax) = r 34-sinx+l(xeR),若人一 4=2,则. 他/)的值为() A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 3.(月考)己知函数/ 的定义域为(32a, Q+1),且. 心+1)为偶函数,则实数Q的值可以是() 2 A亍B. 2 C. 4 D. 6 4.(模拟)设 . 心)是(一8, +oo)上的奇函数, . 心+2)=-心),当0WxWl II寸,./U)=X,贝,7.5)等于( ) A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. -1.5 5.模拟)已知沧)是周期为2的奇函数,当00, 11? ( 12分) 已知函数./(x)=o, x=0, 是奇函数 . 2 +mx, x0, 求实数加的值; 若函数沧 ) 在区间1, Q 2上单调递增,求实数Q的取值范围 . 12.模拟) 已知函数/(X)=X+¥(XHO) (1)判断金 ) 的奇偶性 , 并说明理由 ; (2)若/(1)=2,试判断./(X)在2, +8上的单调性 .
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