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1、4一1?4?2 2聲、令耗匣礙的傕腹 (一) 教学目的: 知识口标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能 力目标:常握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最 小正周期。 徳育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的 数学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的 兴趣。 教学重点:正、余弦点数的周期性 教学难点:止、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1?问题:(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢? (
2、2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正 (余)弦函数的图象总结规律: 自变量 X 一2 龙 3兀 -7t 71 0 n 2 7T 3 兀 2 17C 函数值 sinx 010-1010-10 正弦函数/(x) = sinx性质如下 : (观察图彖 )1。正弦函数的图彖是冇规律不断重复出现的; 2。规律是:毎隔2兀重复出现一次 (或者说每隔2k7T, keZ重复出 现) 3。这个规律由诱导公式sin(2k7i+x)=sinx可以说明 结论:象这样 一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当x增力11 2k7T ( ke Z
3、) 时, 总有/(x + 2k 兀)=sin(x + 2k 兀)= sinx = /(x)? 也即:(1)当自变量兀增加2龙吋,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意兀,sin(x + 2Qr) = sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1、周期函数定义:对于函数f3,如杲存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每 一个值时,都有 :f 3T)寸( 劝那么函数f(方就叫做周期函数 , 非零常数T叫做这个 函数的周期。 问题:(1)对于函数y = sinx, xeR有血二 +弐疋血壬,能否说弐是它的6 3 6 3 周期? (2)正
4、弦两数y = sinx, xe R是不是周期函数, 如果是,周期是多少?(2S KZ 且20) (3)若函数 /( 尢) 的周期为则kwZ“也是/( 兀)的周期吗?为什么? (是,其原因为:/(x) = /(x + T) = /(x + 2T) = ? = /(x + T) 2、说明:1。周期函数xw定义域M,则必有x+TwM,且若T0则定义域无上界; T0)的周期T = ; 0) (2)若 evO,例如:y = 3cos(-x), xe R;y = sin(-2x), xe R; y = 2sin(x ), XE R . 2 6 则这三个函数的周期又是什么? 2龙 一般结论:函数y = As
5、in(cox+(p)及函数y = Acos(cox+(p), xe/? 的周期T = 例2、求函数的周期 (1 )、y = sinx + cosx (2)、y=|sinx (3)、证明函数/(x) =1 sinxl + lcosxl的一个周期为壬,并求函数的值域; 分析:以上函数不是y = Asm(cox+(p)和y“cos伽+。)的形式,故只能用定义来求解 答:略 例3求下列三角函数的周期: 1 y=sin(x+-) 2 y=cos2x 3 y=3sin(- + -) 3 2 5 解:1令z二x+而sin(27t+z)=sinz 即:f ( 乃t+z) (z) f (x+2)7t+ (x+
6、) 二周期T二2兀 3 3 2。令z=2x ?:f 3 =cos2x=cosz=cos(Z+2K)=COS(2x+2兀)=cos2(x+兀) 即: f (+7t) f (0 /. T=7t 3令z=+ 贝ij:f (%)=3sinz=3sin(Z+2K) =3sin( + +2K) 25 2 5 =3sin( x+4;r+)=/ (对4兀) ? *.T=4K 2 5 小结:形如v二Asin(3x+?) (A, 3, ?为常数 ,AHO, XGR)周期T二竺 co y二Acos (3 x+ ?)也町同法求之 三、 巩固与练习 1、课本40、练习1、2 2、求函数y=| sin(2x+) |的周期
7、 6 四、 小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期 五、 课后作业 :P56练习5、6 P58习题4. 8 3 补充:1.求下列函数的周期: (1)= sin(-%) ;(2) y = sinx + cosx ;(3) y = cos 2 x. 32 (4)y=sin(3x+)-l (5) y=lsinxl 2、函数/(x)对任意的兀都有/(x + 2) = -/(%),它是周期函数吗?若是,它 的周期是多少 ? 七、课后反思: 教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力口标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单 调区
8、间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不 拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精 神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、 复习引入:二、讲解新课: 1.奇偶性 请同学们观察正、 余弦函数的图形, 说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数y取同一值。 例如: /(-y) = |,/(y) = |,即/(-y)(y); 以上情况反映在图象上就是:
9、如果点(x,y)是函数y=cosx的图象上的任一点, 那么,与它关于y轴的对称点 (-x, y)也在函数y=cosx的图象上 , 这吋, 我们 说函数y 二cosx是偶函数。 定义:一般地,如果对于函数/(X)的定义域内任意一个x,都冇/(-x)二/(x), 那么 函数/(x)就叫做偶函数。 例如:函数/(X)=X 2+1,( X)=X 4-2 等都是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什 么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于 原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数y=sinx的图
10、象上任一点,那么与它关丁原 由丁COS (x)=cosx ?/(-x) . 点对称的点(-X, -y)也在函数y=sinx的图象上 , 这时, 我们说函数y=sinx是 奇函数。 定义:一般地,如果对于函数/(X)的定义域内任意一个x,都有f( x)=- f(x), 那么函数产x)就叫做奇函数。 例如:函数y二x, y=- 都是奇函数。 x 如果函数/(X)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数/(X)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2) /(-x) = /(x)或/(-x)二-/(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。
11、首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算/(-X),看是等于/(x)还是 等于-/(x), 然后下结论;若定义域关丁原点不对称,则函数没有奇偶性。 2.单调性 从y= si nA-, xG 的图彖上可看岀: 2 2 当xW , 吋,曲线逐渐上升,sinx的值由一1增大到1. 2 2 当圧,辺时,曲线逐渐卜降,sin%的值由1减小到一1? 2 2 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间兰+2W ”,-+2A7I (MZ)上都是增函数 , 2 2 其值从一1增大到1;在每一个闭区间兰+2W ”,+2kJi (AeZ)上都是 2 2 减函数,其值从1减小到一1? 余弦函数在每一个闭区间】
12、(21) ”,2 (3) /(x) = lg(sin x + Vl + sin 2 x); (x0) 函数/(x) = V3sinx + cosx图象的对称轴是 _ ;对称中心是 _ 例3 已知f(x) 二 ax+bs沖 x+Ka 、/? 为常数 ),且f =7、求f(-5). (1)求f(X)的定义域和值域; (2)判断它的奇偶性、周期性; (3)判断f(x)的单调性 . 例5 (1)0是三角形的一个内角 , 且关于X的函数f (x) =sain(x+e) +cos(x-e)是 偶函数,求e的值. (2)若函数f (x)二sin2x+bcos2x的图象关于宜线x = 对称,求b的值. 8 例
13、6已知/(x) = log“(sii?-sin“ !?)(& 0,。H1),试确定函数的奇偶性、单调性. 二、 巩固与练习 1.有关奇偶性 (1)/(x) = sin I x 14-1 sin x I /c、z x 1 + sinx-cosx (2)(X)= - 1 + sinx + cosx 2、 有关单调性 (1)利用公式sin a-sin /3 = 2 cos sin , x轴,(B) y轴, (C) (D) 直线 T (4) fM = lg(l/) lx-21-2 例2 (1)函数fM=snx图象的对称轴是_ 对称中心是 _ 已知已矩 /?( 兀 )=log 1-sinx 1 + sinx 求证/(x) = sinx 上 2 2 2 2 是增函数; (2)不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0; sin(一希)5(-侖) (2) COS(扌7T) COS( 71、 (3)比较sinl,sin2,sin3 大小;sin(/r-3) sin 1 sing-2) (4)求函数y = 2sin(3x + -)的单调递增区间; 4 四、 小 结:木节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2?止弦、余弦函数的对称性 五、 课后作业:见教材52、习题2、4 六、 教后记:
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