5-函数的奇偶性.docx.pdf
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1、2.3函数的奇偶性 教学目标 重点:函数奇偶性、周期性的应用 难点:判断奇偶性,求函数的周期 能力点:解决函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题 教冇点:会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性,数形结合思想的应用 白主探究点:会判断、应用简单函数的周期性 考试点:1. 函数的奇偶性、周期性的应用是髙考的重要考点; 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现,属中低档题目. 易错 * :I.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称?定义域关于原点对称是函数具 有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数/(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x
2、, 堆片/(-%) = -/(%),而不能说存在x , 使y(-x) = - /(%). 対于偶函数的判断以此类推. 易混点 : 分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否 定函数在整个定义域上的奇偶性. 拓展点:从所给的解析式或函数关系中,要能从其结构特征探究发现其隐含的奇偶性、周期性,从而利用奇偶性、 周期性将问题解决 . 学法与教具 1.学法:探究法。2. 教具:多媒体,投影仪。 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.函数奇偶性的定义 如杲对于函数 /( 尢) 定义域内任意一个兀,都有_ , 则称/( 兀) 为奇函数;如果对于函 数/
3、( X)定义域内任意一个X,都冇 _ ,贝IJ称于( 切为偶函数 . 如果函数f(x)不具有上述性 质,则 /( 兀) 不具有奇偶性 . 如果函数同时具右上述两条性质,则/( X)既是奇函数,乂是偶函数。 2.奇偶函数的性质 (1) 为奇函数?/(-x) = -/(x) ? /(-x) + /(x)=_; /( X)为偶函数 o f(-x) = f(x) = fx f(-x) -f(x) = _ . (2) /( 兀) 是偶函数0/(尢) 的图象关于 _轴对称;/)是奇函数o/(x)的图象关于 _ 对称. (3) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有_ 的单调性
4、. 3.函数的周期性 (1) _ 定 义:如果存在一个非零常数使得对于函数定义域内的任意x,都有/( 兀+ 丁)= _ , 则称门兀 ) 为_ 函数,其中T称作/( 兀) 的周期 . 若丁存在一个最小的正数,则称它为/( 兀) 的 T T (2)性质 :?/ ( x4-n=/(切也常常写作 /(%+-)= 一一). 2 2 如果T是函数y = f(x)的周期,则kT(k e ZRk 0)也是y = f(x)的周期,即f(x + kT) = f(x). 若对于函数/(x)的定义域内任一个自变量的值兀都有f(x + a) = -f(x)或/(x + d) = !或 f(x + a) = - 一(
5、。是常数且dHO),则/( 兀) 是以 _ 为一个周期的周期函数. /( 兀) 三. 范例导航】 例1?函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性. (2)/W=x(y+*) ; X+Xy X0. 【分析】判断函数奇偶性的方法. (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断.( 先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法: *兀丿的图象关于原点对称,则/W为奇函数;丿的图象关于y轴对称,则几0为偶函数 . (3)基本函数法:把丿变形为g(x丿与/?(x丿的和、差、积、商的形式,通过g(p与/ 衣丿的書偶性判定出幷r丿 的奇偶性 . 1 X 【解答】 (1)定义域要求一$0且:.f(x)定义域不关于原点对称
6、, ?) 是非奇 1 + x 非偶函数? I | 2X 函数定义域为一 , 。) 吨+?心 ) ( 亍+古“刁 F 何是偶函数 . 是奇函数 . (4)函数的定义域为 ( 一8, 0)U(0, +0,则f(-x)=-(-x) 2-x=-(x2+x)=-fM ; 当兀0 时,-x)0/(-= 00幷 Q = l(/(x)HO). 变式训练:判断下列函数的奇偶性. (2g)=+V1 ZP: (3W) = 3* 【解答】( 1)函数/(x)既不是奇函数也不是偶函数.( 2)/(x)既是奇函数又是偶函数. 4 - x 20 由L 得鳥定义域为 -2,0)U(0,2.?定义域关于原点对称,VX-x)=
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