55随机变量函数的分布.doc.pdf
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1、5.5随机变量函数的分布 一、 背景介绍 前面从理论上讨论分析了随机变量的分布规律,然而对许多实际问题,随机变量的分布并不容易求得; 另一方而,冇一些实际问題往往并不直接对分布感兴趣,而只感兴趣分布的少数儿个特征指标,例如分布的中 心位置,散布程度等等。 引例,要比较两个冰箱厂生产的冰箱质量,一方面要比较它们的平均使用寿命,平均寿命越长质量越好; 另一方而述要比较两个厂产品寿命相对于平均寿命离散程度的大小,离散程度大的质量不稳定,离散程度小的 质量比较稳定,比较可靠。 可见,产品的重要质量指标,平均寿命及质量的稳定性均表现为具有一定特征的参数或数字。知道了这 类特征参数或数字,就能对随机变量分
2、布的统计规律一目了然。这类能够直观反映出随机变量分布特征的数字 就称为数字特征,包括数学期望和方差。 二、 随机变量的数学期望及其性质 定义1设离散型随机变量的分布列为 = Pi i =1,2,?,/f 9 艺科?幵= 2S A 则和式“ 称为x的数学期望。记为 若X取值为可列个,无穷级数i 绝对收敛,则称该无穷级数之和为X的数学期望,记为 l-A 注意:假如上述无穷级数不绝对收敛,则称该随机变星X的数学期塑不存在。 分为连续型随机变量X的数学期望,记为 想(&=匚¥(诫 注意:当上述广义积分不绝对收敛时,称X的数学期望不存在。 数学期望亦称为期望或均值,由于完全由随机变量的概率分布所确定,所
3、以也称为分布的数学期望。 卜面给出随机变暈函数的期望计算公式: 定理 设随机变量X的函数Y=f (x),则有 275 ,若喷 A 匸/ (认舛 若劝 例1甲、乙两个工人生产同一?种产品,若一天屮他们生产的废品数分别为随机变量X与Y,且已知 X与?的概率分布分别为 X0123Y0123 Pk0.40.30.20. 1Pk0. 30. 50.20 设这两人的日产量相同,问哪位工人的生产技术更要好些? 则称该积 呵=町(旳】 =“ 定义2设连续型随机变鼠X的密度函数为尺“ 若广义积分 绝对收敛 , 解:仅从概率分布看,不好氏接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论,但山数学期里的概念, 我们可以通过比
4、较E (X) , E (Y)的人小來对工人的生产技术作业评判,依题意可得 =0x0-4+lx0.3+2x.02+3x.0l = 1 u = 0x03+1x0.5+2x0.2+3x0.9=0.9 由于旳0“。故由此判定工人乙的技术更好一些。显然,一天中乙生产的废品数平均比屮 丄 少亘 例2某公司牛 : 产的机器其无故障工作时间X有密度函数 ( 单位:万小时 ) 公司每售出一台机器可获利1600元,若机器售出后使用1.2力小时之内出故障,则应予以更换,这时每 台亏损1200元;若在1.2到2万小时Z间出故障,则予以维修,由公司负担维修费400元;在使用2力小时以 后岀故障,则用户口己负责。求该公司
5、售岀每台机器的平均获利。 解:设Y农示售岀一台机器的获利。则Y是X的函数,即 -1200 #0jr2 于是 ?(n=? cg(JD) =(-1旳宙 寻“口 600 訐叭 即该公司售出毎台机器平均获利1000元。 下面给出随机变量数学期望的性质 性质1 E (C) =C (C为常数 ) 证明 : 只需将X看成为是以概率1?取常数C的随机变量即可 : 因为随机变量x?c,其分布列为由期望的定义,有: 1 = c , 性质2 E (CX)二CX (C为帘数) 证明:以连续型随机变啟为例,设X的密度函数为由连续型随机变吊: 期処的定义 =匸V(x&=(7j* *皿耀(JQ 性质3 &3“)=揖(約 “
6、(b为常数) 证明:设连续型随机变吊X的密度函数为尺力,则 5CZ4-A) = 口+)貞gr =匚珂二期必 性质4扛空a, b为常数) 由性质2,性质3,不难推出性质4成立。 性质5设有两个任意的随机变量X, Y,它们的期望用gWS 存在,则有 0 性质5可以推广到n个随机变量。 推论1设冇n个任意的随机变量融f?M),它们的期望凤為) ?砚吵,風益) 存在,则冇 即n个随机变量蜀二以上)和的期望等丁- 各百期望之和。 推论2设有n个任意的随机变量鬲“ 山,它们的期望矶Q矶 i 凤心存 在,则有 *i-i 即随机变量的算术平均值的期望等于随机变量?的期望的算术平均。这在后面数理统计中常要 用到
7、。 性质6设蜀?码是相互独立的两个随机变量,H各口的期望均存在,则有 即两个相斤独立的随机变虽h2)乘积的期望等政协委员门期望的乘积。 推论设n个随机变量葛“kN“* )相互独立,且各自的数学期望存在,则有 注意:性质5与性质6条件上的差别。对“求和”,不要求随机变疑骂相互独立, 对于“求积”,则要求 随机变量国相互独立。这是因为证明“积”的性质时,用到随机变量再 ?畫?叫H互概念,否则,不-定 成立。 适当应用这些性质,可以简化期里的计算。 例3设某仪器总长度X为两个部件长度Z和,即X=X1+X2,且已知它们的分布列分别为 X 9 1011X267 Pk0. 30.50. 2Pk0.40.6
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