5高考复习指导讲义第五章复数.docx.pdf
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1、高考复习指导讲义第五章复数 一、 考纲要求 1?理解复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念,拿握复数的代数形式及其运算法则,能 止确地进行复数代数的运算。 2.掌握复数三角形式及其特征,三角形式与代数形式的互化能熟练运用复数的三角形式进行复数的 乘、除法及乘方、开方运算。 3.理解复数的模、辐角、辐角主值和共辘复数的概念,掌握相关性质,能运用它们解决相关的复数 问题。 4?理解复数的几何表示及向量表示,掌握复数加法、减法、乘法的几何意义,并能运用它们解决 一些复数问题,会计算平面上两点间的距离。 5.掌握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式,会运川复数有关性质求点的轨迹方程。 6.掌握一元二
2、次方程、二项方程在复数集上的解法,某些复系数方程和含有参数的方程的解法;韦 达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用。 二、 知识结构 学习复数,要抓住概念、运算、儿何意义三个环节 复数概念的最重要内容是复数的二维性,即复数是形如a+bi, (a, beR)的数。复数的二维性又决定了 研究复数的基本方法是分离实部和虚部的方法。新概念、新算法、新结论、范围大、头绪多是实数集合 所没有的,列表如下: i性1 i 4k+1=i i 4k+2=-l i4k+3=-i(keN) (虚数单位i 2=-h I Zi I - I Z2 I I Z1Z2 I W I ZJ + I Z2 I I Zi ? Z2
3、I = I Z! I ?丨Z2 I OZ 复数的向量表示 (a+bi) + (c+di)二( a+c) + (b+d) i r复数的加法法则 复数加法的几何意义 复数代数(a+bi)- (c+di) = (ac) + (bd) i 形式的四J复数的减法法则? 则运算复数减法的儿何意义 复平而上两点间的距离d二| Z-Z2 I cos 0 = _ r (r= J/ +b?) sin 0 = r 复数的三 角形式 Z=r(cos 0 +sin) ri (cos 0 +isin 0 i) *r- (cos 0 2十sin 0 2) =rlr2 cos( 8 + B 2)+isin( 0 1+2) 复
4、数三角” 形式的乘 法法则 | 复数乘法的儿何意义:将向量a+bi逆时针 旋转() 得(a+bi)(cos 0 +isin() ) 棣莫佛定理r(cos 0 +sin 0 ) “=r n(cosn 9 +isin n 9 ) 复数三角 0),把忑绕A点按逆时针方向旋转a角,旋转后再把所得向量的长度 变为原来的k倍(k0)得到疋,则疋对应的复数是r(cos0 + isin 0 ) ? k(cos a +isin a ),如果把AB绕A点按 顺时针方向进彳亍同样方式的旋转和伸缩, 那么所得向量对应的复数是r (cos() +isin() )? k(cos a -isin a ) 除法是乘法的逆运算
5、,除法也可表现为乘法的形式,Z6Z2%? (丄) 因此除法运算的 几何意义为乘法运算的几何意义实质相同。 复数方根的儿何意义: 设蒂对应的复数是Z, Z的n次方根(n2, nwN)对应于从原点出发II在原点处n等分 圆围角的n个向 量,这n个向量的模都是侗,其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的n 分之一 , 图中画出了模为8的向量OZ所对应的复数的三次方根OZ , OZ2 , OZ3,其中 OZj的辐角取OZ辐角的三分之一。 理解复数运算的儿何意义,通过图形来讨论代数问题,掌握数形结合这一重要的思想方法。 数学是揭示客观事物的数量和形体的本质关系和联系的科学,从认识的角度考虑“数” 与“形”是
6、事物的两个侧血,数形结合止是从这两个方血去认识事物的特征。 在解决数学问题时,通过数形结合,对将抽彖的数学语言与直观的图形相结合,使抽彖思维与形象 思维相结合,通过图形,发挥直观对抽象的作川,实现抽象概念和具体形彖的联系,可以把数量关系转化 为图形的性质來研究,或者把图形的性质问题转化为数杲关系的问题。 由复数的儿何意义推导的下列结论对数形结合思想的培养很有帮助。 z l.Zi/HO,则Z1+Z2 丨=I Zi-Z2 I O 1?二入 i (ZR 且入HO) O对应的向量OZ Z2 丄OZ? 2. 设P点对应的复数为厶,点Q对应的复数为Z2,则向量PQ对应的复数是Z2-Z 3?向量PQ绕点P顺
7、时针方向旋转角0 ( 0 0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1) cos (- 0 )+1 sin(- 0 )而旋转之后点Q 对应的复数应是(Z2-Zi) cos (- 0 )+1 sin (- 0 ) +Z2 4.I Z-Zi I = I Z-Z2 I表示以复数ZZ2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。 5.I Z-Zo I = Y表示以Zo为复平而内对应的点Z。为圆心,半径是Y的圆的方程。 6.I Z-Zi I + I Z-Z2 I =2a(2a I Z1Z2 I ) 表示以Z】、Z2在复平面内对应的点Z】、Z2为焦点 , 长轴 是2a的椭圆方程。 7.I Z-Z! I
8、- I Z-Z2 I =2a(2a0, &w(0,兀) ,Za=Zi ? Z2. 若I Z1-Z2 I =r+l,求r和&的取值范围。 知识点:复数的代数、几何、三角三种形式间的互化。 能力点:函数或不等式的思想方法。 9.设Zi, Z2GC, I Z. I = I Z2 I =1,ZK Z2在复平面内的对应点分别为Z】、Z2, 0为原点。 若Z2-Z1=-1,求arg; J (2)设argZi= a , argZ2= P ,若 OZiZ2的重心对应复数一 +丄i求tg( a + P )的值。 3 15 知识点:辐角主值,三角的恒等变形,三种形式间的互化。 能力点:数形结合、转化与化归思想。运
9、算能力,逻辑思维能力。 10.设复平面内有一系列向量OZ “ ( n二1,2, 3, 4,) ,将OZ.逆时针方向旋转 () ,且使 其模扩大原 来的近倍得到OZ ”|,已知对应向量瓦(n=l,2,3-)ZF-l + i 7F (1)当e=-时, 求Zn关于n的表达式。 4 TT 当仁丝时,求使乙为实数时所有D;将所有等于实数的Zn的倒数按原有次序排列成一 4 个新数列求lim (bi+b2+ ?bn) n-oo (3)当0 0) (1)求a,b的值;并将Z2表示成三角形式。 (2)求满足Zi+Z2+-+Zn=0的最小自然数n,并计算Zi ? Z2-Z,的值。 (3)前100项中有多少项是实数
10、 ?并求这些实数和。 知识点:等比数列的性质,复数的三角表式。 能力点:转化与化归思想,分析与解决问题的能力。 17.已知复数集合M二Z II Z-2+i I W2ZwC A Z II Z-2-i I = I Z-4+i I ZGC 试在复平面内作集合M的图形并说明图形的名称。 (2)求集合M中元素Z辐角主值的取值范围。 求集合M屮元索Z模的取值范围。 知识点:集合、复数减法的几何意义,复数的辐角主值,复数的模,点到直线的距离。能力点:数 形结合思想,逻辑思维能力。 18.设复平而上有一係列向量OZ“ ( “0, 1,2)满足如下关系:将OZn绕原点按逆时针方向旋转扌 n后,再把它的模变为原来
11、的一半,得到OZ曲,记0乙对应的复数为Z,(n=0, 1, 2 ),若ZO=2A/2+2V2 i, (i为虚数单位 ) 求Zn (2) n这何值吋,为实数 ?将所有为实数的按原有顺序排列成数列 缶, 写出这个数列的通项公 式。 (3)求lim (ai+a2+ n-oo 知识点:等比数列的性质,极限,棣莫佛定理。 能力点:分析与解决问题能力。 19. 已知twR,且关于x的方程x2+2x+t=0的两个根为复数a , P求丨a I + I 3 I的值。 知识点:二次 14-已知复数時寺時 +#i, 复数ZW , Z 2W3 在复平而上所对应的点分别 15.设复数Z=cos 0 +isin B (0
12、bc,求证:丨a丨0 得mV-3 0可见一VargwVJT, 10 + 6cos& 10 + 6cos& 2 0 Z-2 w 二 - Z + 3 ( X? 2) + yi 5sin& tg(argw)= - (0 cos&-5 5sir) 0 =ycos() -5y 5y=ycos 0 -5si n 0 = Jy 2 + 25 ? cos( 0 +t) 其中COSt= - 抄+25 sint= = 3+25 5y W1 (兀 + 3) + yi (x ? 2) + yi( 兀 + 3) - 刃 ( 兀+ 3)2 +) “ (x ? 2)(x + 3) + y 2 + y (x + 3) )心一
13、2)/ 10 + 6/ (x ? 5) + 5yi 10 + 6/ 问题转化为求函数1= tg (argw)- X -5 5 v x2+y 2 = b x0, y0 的最小值 x -5 将y =-x-t,代入x2+y 2= 1 整理得 5 t 2 , 2t2 , (1 + - ) x 2- x+f-1 =0 25 5 ? ? XGR 2t2t2 ? ? ( - )-4(1+? (t2-l)0 25 25 ? -25 ? t w 24 5?解法一:I 丨Z I =1, AZZ =1 1-Z3 TZz = i+z+z 2=zZ +z+z2=z(z+Z +i) =(2cos 0 +1) (cos 0
14、 +isin 0 ) V 0 2( I I Z+3-73 i I - I -3 I I )=2(3-73 )当且仅当Z+3- JJi二入(-3) ( X 0)即I Z+3-73 i I = I -3 X I =3X W 3X = A/3 U|JZ=-3-A/3+V3 i 时,I 2Z-2 巧i | 的授小值为2(3V3 ) 解法二 由I Z+3-V3 i I =V3知Z对应点在以(-3, V3 )为圆心,V3为半径的圆上 /. I z- V3 i I的最大值为J(0 + 3)2 +(馆?巧 )2 4- 73 =3+ V3,最小值为7( O + 3)2 +(V3-V3) 2 - V3 =3- V
15、3 ,从而丨2Z-2 V3 i I 的最大值为2(3+J亍) ,最小值为2 (3-/3 ) r ? 36( . 36 . 30、 2 sin (sin - 1 cos ) 二2 2 2 2 sin (sin - i cos ) 2 2 2 .30/ 33 . . 30、 sin (cos - 2 sin ) _ 2 2 2 _ . e (& . . &、 sin (cos + z sin ) 2 2 2 30 e =sin cos (cos 0 +isin 0 ) 2 2 30 30 30 由 - ? (0, 3 )得当0argu r = 0 2 当0 e (- 3 6.解法一: 2 , 3&
16、 e I =sin - esc 2 2 , 3& e I 二一sin esc 2 2 込时si世 M 3 3 2 心)时 3 Zi=*/3 +i=2 (cos 6 71 +isin ) 解法三 : 由I Z+3-V3 i I 设Z+3-V3 i-V3 (cos0+sin0) 0 G 0, 2 n 则 I 2Z-2 V3 i I =2 I -3+V3 (cosO+isinO) I =2 V3 J(cos&-徭)2 + sin 2 =2-3 J4-2A/COS& ? ? I 2Z-2 V3 i I的最大值为23?4 + 2馆二2(3+馆) 绘小值是2V34_2羽=2(3-V3) 由设0A, 0B分
17、别与圆C相切于A、B两点, 贝iJargZ的最大值与最小值分别是B、A对应复数 Z” % 的辐角主值 V I 0C I =2-/3 , .?.ZAOC=ZBOC= 6 JI 2/r AargZ的最大值为n , 最小值为兀-2 ?二,对应的复数 63 777 (2 兀2713 3V3 Zi= - AC (cos - + isin - )= -+ - T Z2=-3 32 2 2 7.解:VZ,+2Z2=(sin e +2cos 0 )+i (sin e -2cos 0 ) r z sin0-2cos& Atg arg(Zi+2Z2)二 - sin& + 2cos& $_2 _ 4 tgO + 2
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