7新课标高考数学卷第21题函数解答题的解题策略探究.doc.pdf
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1、新课标高考数学卷第21题函数解答题的特点及解法探略 宁夏回族自治区固原市第二中学张 兴 宁夏回族自治区固原市回民中学李雪琴 摘要:新课标数学卷第21题均为函数综合题。其内容涉及切线、单调极值、求参数范围和证明不 等式四大问题。突出考查学生思维的灵活性、敏捷性和数学化归能力。更重要的是这些考查 都立足于对通性通法考查的基础之上。本文主要探究解题中的通性通法。 关键词:切线;单调性与极值;参数;不等式;解题策略 函数是高中数学的重要内容,其观点和方法贯穿了高中数学的全过程。因此函数知识可以有效的 承载中学数学核心素养,所以新课标高考试题无一例外,每年的压轴题均为函数综合题。在高考所有 数学内容中对
2、函数知识和能力的要求是最高的,所以对函数压轴题的深入研究,既有利于培养学生的 数学综合素养,又有利于做好高中数学教学工作。笔者就近十年函数压轴题统计表如下: 项 目 (文科) 07 年 08 年 09 年 10 年 11 年 12 年 13年14年15年16年 IIIIIIIIIIIIIII 切线问题 单调极值 ?3 3 求参数 3333 33 不等式(恒) 333 项目(理) 07 年 08 年 09 年 10 年 11 年 12 年 13年14年15年16年 IIIIIIIIIIIIIII 切线问题 单调极值 3 求参数 2 33 不等式(恒) 3 33 33 通过对表格的分析、归类我们会
3、得到以下几点(1)考察内容涉及切线、单调极值、求 参数范围和证明不等式四大问题,基本上每年都是四选二。(2)文科以单调极值为主,切线、 求参数次之,涉及不等式的比较少。理科以求参数范围为主,单调极值、不等式问题次之, 切线问题涉 及比较少。(3)通过对比、分析,就会发现通性通法与灵活化归是解题的主要策略。 一、切线问题 例【1】 2014理I (21)设函数 = +竺1,曲线y = /(x)在点(1, /(I) x 处的切线为y = e(x-l) + 2. ( I ) 求彳/? ; ?a r T f (x) = ae x nx + e x 又?切点(l,b) ?斜率k= f) = ae ?切线
4、方程:y-b=6?e (x-1) 又;?切线为y二幺( 兀一1) + 2 例【2】K2015 理I (21)3 己知函数 /(%) =x 3 +6ZX + ,g(x) = -lnx. ( I ) 当a 为何值时 , 4 “轴为曲线j = f(x)的切线 ; 【解析(2) ( I )?fx) = 3x 2+a 设曲线y = /(x)与兀轴相切于点 ( 无),0), , j / a 2 _ 兀:+ ax? H 0 = /(兀)=3 兀 则/(xo) = O, /(xo) = O,即 4 , 3%0 +。= 0 1 3 3 解得x0=-,6/ = -.当Q二一才时,兀轴是曲线y = /( 劝的切线
5、. 例【3】已知曲线方程为y = F,求过 B(3,5)点,且与曲线相切的直线方程. 【解析(3)】?fx) = 2x设切点(a,b) . ? . 斜率k= f (x) = 2a切线方程:y?b = 2a(x-d) 又?(3, 5)在切线上,?5?a =2Q(3 Q) ?G = 1或Y?方=1或上 2 4 5 25 ?切点坐标(1,1)或) 2 4 【解析(1) b x_i b -e + 2 X X 5 25 故切线方程:y?l = 2(x l)或者y?| = 2(x-y) 【评析】从数量上看,近十年文、理30套题中出现考察切线问题的共有13个,对知识和能力 的考察屈于中等层次,都在第一问。主
6、要针对导数的几何意义,涉及过函数表示曲线上某一点的切线, 大多数与求参数值结合在一起。观察上述三个小题就会发现其解答过程, 代表着知识的形成过程,也复 合学生的认知规律。其核心步骤为求导数、写切点( 有则写 , 无则设 ) 、求斜率、写切线、有字母则需列 方程和解方程。在这类题的各种解法中,或许有更加简捷的方法,但这种步骤是最基础、最具有普适 性的方法。 练习:H2016 文(20)3 己知函数 /(%) = (x + l)lnx-6Z(x-l)? (T)当0 = 4时,求曲线y二/( 无) 在 (,/()处的切线方程; 二、函数的单调性、极值、最值 例4 K2007 文(19)函数/(x)
7、= ln(2x + 3) + x 2. ( I ) 讨论/( 兀) 的单调性 ;(11)求/( 兀) 在区间的最 大值和最小值 . 4 4 / 3 、 【解析(1) ( I ) “0的定义域为 ( 一+). 当/ 心等凹“时, “冷或I X 3 二,-1) -1 弓 1 2 (2+ ) + + 增减增 3 I I 所以/ 分别在区间 ( 1) , ( + 00) 单调增加 , 在区间 (-1,)单调减少 . 2 2 2 3 1 1 1 (II)由(I )知/( 兀) 在区间 - 的最小值为 /( ) = ln2 + -. 4“ 2 4“ 3 1 1 1 7 所以/ 在区间 - 打的最大值为心祐
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