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1、第2讲同角三角因数的基本关糸与诱导公式 2014年高考会这样考】 1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值屮的运用. 【复习指导】本讲复习吋应紧扣三角函数的定义,理解记忆同角三角函数的基本关系式和 诱导公式;特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌握其规 律. 基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin% + cos%=l; (2)商数关 系:777T=tan a. COS (A 2?诱导公式 公式一:sin(a + 2Z:7i) = sin a, cos(a+2加)=cos/,其中kZ. 公式二:sin(7i+(z)=
2、sin g, cos( 兀+a)= co$_e tan(兀+a) = tan a. 公式三:sin(a)= sin q,cos(a) = co$_g? 公式四:sin(7ra) = sin a, cos(兀一a)=cos_e 诱导公式可概括为力号土a的各三角函数值的化简公式. 记忆规律是:奇变偶不变, 符号看象 限. 其中的奇、偶是指乡的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 若是奇数倍,则 函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把a看成锐 角时原函数值的符号作为结果的符号. ?在丞值当化負吐2常一甩方一注有一匚 (1)弦切互化法:主要利用公式tan a
3、=赠笑化成正、余弦 . . COS ? . (2) .杞枳转操法丄利丿可(sin fttcos_? 2=.l 2sin cos 0, tan6ZC0S a的值。 5 l-sinz 考向一利用诱导公式化简、求值 【例1】七知肠 =常严严 g, 求眉夕 sinl 2+a ltan(7r+a) 审题视点先化简 ?, 再代入求解 . 4. cos(- 乎)_ 1771 的值是( )? . 方法总结 “(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数 尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. cos(号+a Jsin( _
4、 兀 _ a) 【训练】 已知角以终边上一点卩(一4,3),则一而一厂两一的值为_ . cos l _2_ ?Jsinl+6 ( 考向二同角三角函数关系的应用 【例2】(2011?长沙调研)已知tana=2. 审题视点同除cos a; (2)利用l=sin 2a+cos2a, 把整式变为分式,再同除cos%. 方法总结(1)对于sin a+cos a, sin acos a, sin acos a这三个式子,已知其中一个式子 的值,其余二式的值可求. 转化的公式为(sin a cos a) 2= l 2sin acos a;关于sin a, cos a 的齐次式,往往化为关于tan a的式子
5、. 考向三三角形中的诱导公式 【例3】在中,sin/+cos/=V,萌cos/ = 迈cos(n_B),求厶ABC的 三个内角 . 审题视点要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 smA+cosA=yl2知先求角A,进而求其他角 . 竝甦在中常用到以下结论:sin(+5) = sin C, cos(/+B)=cos C, t tan(/+B)=tan C,sin辽十刃=coscosK 1 2丿 【训练3若将例3的已知条件“sin A+cos 4=迄”改为“sin (2兀一/)= 一迈sin(兀一 求: 2sin a3cos a 4sin 9cos o: (2)4sin2a 3sin acos ?5cos 2a. 【训练】已知 sin a+3cos a亠 9 3cossm 广 ?求six sizcosa 的值 . ”其余条件不变,求/SC的三个内角 . 忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处理 好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误. , 【防范措施】一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】 若sin0, cos 3是关于兀的方程5x 2x+a=0 (a是常数)的两根,&G(0, 兀),求cos 20的值.
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