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1、对数与对数函数 要点梳理 1 ?对数的概念 対数的定义 如果a x=N(a0 且 占 1),那么数兀叫做以a为底 W 的对数,记作 _ , 其中 _ 叫做对数的底数, _ 叫做真数 . (2)几种常见对数 对数形式特点 记法 一般对数底数为a(a0且 dHl) 常用对数底数为 自然对数 底数为 2. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的运算法则 如果 QO FLdHl, M0, N0,那么 - M log “(MN)= _ ;log 沪 _ ; logX- _ ( 用 R);log/“M“= _ . (2) 对数的性质 a ,0Srt “ = _ ;。缶 /= _ ( Q0 且 d 工) (3
2、) 对数的重要公式 换底公式: _ ( 心方均大于零且不等于1); 10纟( 0=詁肪推广log( Qlog/01ogM = _ ? 3. 对数函数的图象与性质 a Ovxl 图象 y=lo3 O 应0) X dr 1 0) - 性质 (1)定义域: 值域: 过点,即 x= 时,y= 当 X1 时,当兀 1 时, 当 00 H aHl)的图象过两点 ( 一 1,0)和(0,1),则a= _ , b= 4. 函数 y=log?(x+3) 1 (a0且 aH 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0 上( 其 1 2 中加0),贝J4-的最小值为 _ ? 5. (2011?安徽 )若点
3、(a, b)在y=lgx图象上, aHl,则下列点也在此图象上的是() A( +,”B.(10a,l-b) C( 乎,b+1) D.(2b) 题型分类 ?深度剖析 题型一对数式的化简与求值 m 11计算下列各式 . (Dig 25 + lg 21g 50+(lg2) 2; + l? (lgV 厉+ lg 81皿而)(2)Q(lg 3 尸一 lg 9 (3)(log32+log92)-(log43+log83). (3) _ log53 + log5|= (4)_ log35 - log315= lg() ? 31g 1.2 题型二対数函数的图象与性质 m 21作出函数 )=吨 2庄+11的图象
4、,由图象指出函数的单调区间,并说明它的图象可由函数 y = log2x 的图象经过怎样的变换而得到. 题型三 对数函数的综合M 用 U 例 31 已知函数 ,/U)=logn(8-2v) (a0 且 aHl). 若X2)=2,求 a的值; 当 al 时,求函数y=fM+f(x)的最大值 . 专项基础训练题组 一、选择题 1. (2011?天津 ) 已知 ? = log23.6, /2=log43.2, c = log43.6,贝 I( ) .abc B.acb C.bac D.cab logm x0, 2. (2010?天津 ) 设函数 log (i), xvO, 2 若f(心则实数 a的取值
5、范围是() A. (l,0)U(0,l) B. (8, -)U(1, +oo) C. (l,0)U(l, +oo) D. ( 8, -l)U(0,l) 3. 设函数心 ) 定义在实数集上, /(2-%)=/?, 当兀 21时,/W=lnx,则有() 二、填空题 4.(lg 2) 2+lg 21g 5 + lg 5= _ 5. 若函数f(x) = log?(x 2+3) (d0 且 dHl)满足对任意的 X1、X2,当 X|0, 则实数a的取值范围为 _ . 6._ 函数金 )=logj( X 22x3)的单调递 增区间是 _ 三、解答题 7. 已知函数fix)=loga(x +1)logtf(
6、 1 x), a0且 aHl. (1) 求金) 的定义域; (2) 判断fix)的奇偶性并予以证明; 2 lit,求使/ (x)0 的 x 的解集 . 8. 已知函数 /i)= log j (/ 3G+3) 2 (1) 判断函数的奇偶性; (2)若y=f(x)在( 一 8, +oo)上为减函数,求Q的取值范围 . 答案 要点梳理 l.(l)x=log“N a N (2) 对数形式 特点 记法 一般对数底数为 d(a() 且 dHl) loga/y 常用对数底数为 10 IgJY 白然对数底数为空In N 2.(1)lo&M+log (A logMlogtA nlog “M log “M (2)
7、 N N (3) log/N=盟嘗 log/ 3. (l)(0, +8) (2)R (3)( 1,0) 1 0 (4)y0 y0 (6)增函数 数 4? y=logM y=x 基础自测 1? (1)1 (2)2 (3)0 (4)-1 2.(-+,+8) 3.2 2 4.8 5.D 题型分类 ?深度剖析 U 例 11 解( 1)原式=(lg 2) 2 + (1 + lg 5)lg 2 + lg 52 = (lg 2 + lg 5 + l)lg 2 + 21g 5 =(1 + l)lg 2 + 2Ig 5 = 2(lg 2 + lg 5) = 2. (2)原式= (lg 3) 2-2lg3 +l(
8、|lg 3 + 31g 2 -D (Ig3-l)-(lg3 + 21g2-l) (1 - lg 3).|(lg 3 + 21g 2 - 1) 3 (Ig3_l)? (lg3 + 21g2_l) = T yX70 _ _ 变式训练1 解( 1)原式=lg -/lg 23-21g3+ l=lg 10-p(lg 3-1)2 =1 - Ilg3- ll = lg3. 令 3A = /,? ? x = log3r, ? /W = 41og231og3r + 233 = 41og2/ + 233, ? A2)+几 4)+/(8) +几岛 =4(log22 + log24 + log28 + + 10刃 2
9、8) + 8 X 233 减函 31g 2 51g 3 5 21g 361g24- =4-log2(2-22?23-28) + 8X233 =4-log2236 + 1 864 = 4X36 + 1 864 = 2 008. m 21解 作出函数 y = log2 兀的图象,将其关于y 轴对称得到函数 y = log2Lrl 的图象,再将图象 向左平移 1 个单位长度 就得到函数 y = log2Lv + II 的图象 ( 如图所 示). 由图知,函数 y = log2lx + 11 的递减区间为 (-8, - 1) ,递 增区间为 ( 一 1, +8) . 变式训练 2 C m 31 解(1
10、M2) = log?4, 依题意 /(2) = 2,则 logt/4 = 2, .a = 2. (2)由题意知 8 - 2v0,解得 xv3, 由 8-230知, x-3,?函数y = /W+x)的定义域为 (-3,3). 又 y + f(-x) = log(,(8 - 2 V ) + logJ8 - 2 _ v) = logJ65 - 8(2V + 2 J, ?等2* + 202,当且仅当 x = 0 时取等号, ?0v65-8(2 + 2dW49, ?当时, 函数y =X X ) + A - x)在兀=0 处取得最大值 loga49. 变式训练 3 解(1)设 P(x, y)为 g(x)图
11、象上任意一点,则2(-x, -刃是点 P关于原 点的对称点, ?0(-x, -y)在/U)的图象上, - y = io( - x + 1), 即= - log?( 1 -X) . 兀+ (2)/U) + g( 兀)3 加,即 強斤三事加 . 设 F( 兀) = log( /j二= 圧0,1),由题意知,只要 F(x)minrn 即可. 1 入 ?F(x)在0,1)上是增函数, .?./ 7U) niin = /7(0) = 0. 故加 W0 即为所求 . 课时规范训练 l.B 2.C 3.C 45.(1,2*3) 6.( -1) 7. 解(1 )/(x) = loga(x + 1)-logjl -x), x + 10, 则解得- 10 故所求函数 ./U)的定义域为 刘- 1 且. 几-X) = 10ga(-x+ l)-loga(l + x) =-logU + 1) - logfl(l - X) = -fix), 故 yw 为奇函数 . (3) 因为当 dl 时, /U)在定义域 xl-l00 匸1?解得00 的 x 的解集是 xio1, 解得或a2. 所以 a的取值范围是 1)U(2, +8) .
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