=线性代数期末复习总结.docx.pdf
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1、第一章行列式 一、行列式的性质 性质 1行列式与它的转置行列式相等,即|A|= |A T|. (行列互换,行列式不变) 性质 2互换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. 性质 3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数 k 乘 以此行列式 . auai2ai3anai2 13 kanai2ai3 a2Xa22a23 ka2xka2転23 = ka2 a22a23 角1 a32 ?33 a3i 角2。33脳31?33 若行列式中有一行(列)为0,则行列式为 0. 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 坷1坷
2、an纠341 an 坷3 a21+bl a22+b2 如+4 a21 a22 “23 +bl b2 S 。31 “32。33 。31 “32 “33 。31 “32 “33 性质 6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 (行) 对应的元素上去,行列式不变. a ai2 ai3au an + ka!3 ai3 a CL CLa CL + ka a W 21 u22w23 21 “22 e“23 “23 “31 32 “33 31 “32 + 氐 33 。33 性质 7 (Laplace 定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数 余 子式乘积之和, BP: |
3、A| = aix Ai + ai2Ai2 + ? ? ? + ain Ain(1 = 1,2,? ? ?, n ) 推论 2 性质 4 。21 22 a31 “32 ka ka2 。 13 。 23 a33 。 21 3an “12 “1 3 a22 23 a32 = 40 = 0 性质 5 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 二. 行列式的计算 1、字母型 (用性质求值 ) 2a I】 (1)、若三阶行列式= atJ =3,则 2 3i “1 “3 2d -22 2a* (2)、若三阶行列式 D = S b2 g =-1,则 -2叽-2b2 -2b. C c2 c3-2C
4、-2C2-2C3 2、四阶行列式计算 降阶计算。 1 2 练习题:1. -2 0 1 0 12 3 412 3 412 3 412 3 4 2 3 4 1 0 ?1 -2 -70 -1 ?2 -70 -1 ?2 -7 3 4 120?2 -8?100 0 ?4 4U 0 ?4 4 4 12 3 0 ?7 -10 ?13 0 0 4 360 0 0 40 =160.(1) 、 3 114 1111 3 12 112-10 =12 (3)、 1-10 313 6-9 13 111 2 10 -7 、=25 a】 a2 4% 2alt -3al2 an 3.若 a2Xa22a23=1,则 4如 22
5、1 322 。 21 aa32a33 4皎 2。3 3。32 偽 (A) -8 (B) -12 (C) 8 ) ? (D)12 1 2 计算行列式 : 3 1 -1 0 4 2 =-24. 5- 2 4 2 2 0 5 -3 5 1 0 二 42 4 (3)、若三阶行列式 D=atj =5,则 原则:将某行 (列) 除某个元素外 , 其它元素都化为 0,再利用 Laplace定理, -5 2 = 0 1 3 11 ?计算行列式D= l 1 1 1 2 13 12 1 3 5 r 0 -3 解 D 二 0 -4 ,/j 0 -1 1 2 40 1 -2 r 0 0 -2 I 宁 -1 -3 0
6、-3 0 0 4 3 4 3 2 -2 2 3 _7 3 -3 0 1 2 2 0 1 0 0 -1 1 4 3 0 -2 2 3 -3 = 1x(3)x( 一扌)x(3) = 12. 第二章矩阵及其运算 、矩阵的运算 1、矩阵加减法 S 3、矩阵乘法:俎心,如则 = C“z = (eu)mxn,其中 cij = E %bkj k = (1)一般地, ABBA? (2)一般地, AB=OA = OB = O? (3)AB = AC B = C ? AB = ACAB-AC = O=A(B-C)= 0A = OB- C = ()? (4)若 A = 4C,则当 A 满足|4| HO 时,B =
7、C? (5)(A + B) 2 A2 + 2AB + B2; (A+B)(A-B) A 2-B2; (6)AB=BA, 则称 A,可交换 . 若 A 与妨, 2 可交换,贝 1U 与可交换? =A(Bd) =(AB)B2=(B4B2 = B、(ABj = B】(B2A)=(Bd)A. (町=A; (A + Bf = A 7“ + B T; (M) r = M7; (Afif 二B TAT 5、有关对称矩阵:若4r = A,则称 A 为对称矩阵。 (1) A,B 为同阶对称矩阵分AB 也是对称矩阵 . (AB) 7 B TAT = BAJBBA 丰 AB?) (2) 2、矩阵的数乘也 = AB.
8、 = B.A AIi2 = B2A (7) A mxn ? AEn = E lt,A=A AIX/IME ” = E ” A = A? 4、矩阵的转置 A“ 是对称矩阵,也是对称矩阵. 二、方阵仏 1、方阵的行列式 |A| ki=H ; I M = F A ; AB = AB = BA . A =2, 则2A=16 , 2A = -16 (-2 1、 A = U -1, (_63、 贝J3A= 9 3 ,|3A|=?9 ? 2、方阵的逆矩阵 (1)定义:若方阵 4 B 满足人 =或 34= ,贝= 4” 可逆,则 A“ 唯一? (2)A“可逆 o |A|工 0 o A 是非奇异矩阵 o 心)卄
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