==数值分析复习题整合.doc.pdf
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1、第1章解线性方程组的直接法 三、重、难点分析 例1 用列主元消元法的方程组 2兀+ 3X2+ 5X3 = 5 3兀+ 4X2+ 8X3 = 6 xl + 3X2 + 3 兀 3 = 5 注意:每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解第1列主元为3,交换第1、2 方程位置后消元得 , 3 兀+ 4X2+ 8X3 = 6 第2列琉元为交换第2、3方程位置后消元得 3 兀+ 4 兀 2 + 8 兀3 = 6 5 丄1 3 一3 ? 2 2 工. 、= 回代解得兀 3 = -1,兀2 = 2,兀1 = 2 例2.将矩阵昇进行三角分解(Doolittle分解,Crout分解,LDU分解) 4 2 -2
2、 其中A = 2 2 -2 -2 -3 13 说明:一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的 三角分解 ( 或代入公式求得相应元素)。在分解吋注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。解: A 二LU L=l 0 0;1/2 1 0;-1/2 ?2 1 U=4 2 ?2;() 1 ?1;() 0 10 则矩阵的Doolittle分解为 因为对角阵,则所以矩阵的LDU分解为 矩阵的Crout分解为 例3用LU分解求解方程组 _ 4 2 -2 _8_ 2 2 -2 兀 2 = 4 -2 -3 13 _ %3_ _5 注意:消元过程是解方程组LY=b,和冋代过程是解方程组R
3、X = Y 解:(1)将矩阵进行三角 分解,由上例得: 矩阵的三角分解为 (2)解方程纽 (3)解方程组 所以X= 2 0.9 0.9 第2章解线性方程组的迭代法三、重、难点分析 例1已知向量X二(1, -2, 3),求向量X的三种常用范数。 解ML 二呼3 , |X|L = 比|=6 , |X|2 证明 证明 因为|X|L = max|x,.| = |xj4吋,雅可比迭代法收敛 (3)取a = 5,X (0) =(求出X。 10 5 10 解(1)对i = 1,2,3,从第i个方程解出石,得雅可比法迭代公式为: ”加)二丄(1_2刈”) _兀畀) a - 球”+】) =丄(2_2兀丁_2划加
4、= 0,1, 一a 铲) =丄(1_屮)_2疔) a (2)当a 4时,A为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法收敛。 取心 刘一(黑挣 由迭代公式计算得 r(2) _ 13 片 _ 8 /2) _ 13 1 250 25 - 250 X二 ( , , )丁 250 25 250 例5用高斯塞徳尔迭代法解方程组 5 1 0、 4 ) 1 5 1 -3 1 5) / 丿 1证明高斯塞徳尔迭代法收敛 2写出高斯塞徳尔法迭代公式 3 取X()=(0 0 0/,求出X 解(1)因为A为严格对角占优愆阵,故高斯塞德尔迭代收敛。 对心123,从第i个方程解出兀,得高斯塞德尔法迭代公式为 十- 疔)(_3_斗
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