@8-函数的奇偶性与周期性.doc.pdf
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1、考纲解读 ?理解函数奇偶性的概念,并能判断函数的奇偶性 ?学握具有奇偶性函数的图象和单调性的有关性质,能灵活应用 重点难点 ?函数奇偶性的判定;具冇奇偶性的函数的冇关性质的应用 ?将具有奇偶性的畅数的有关性质灵活应用于综合题中 命题探究 ?教材将函数的奇偶性和周期性移到了三角函数这一章,因为三角函数的图象很直观地反映了这两个性质,所以利 用 函数的奇偶性的性质来解题将成为考试热点 ?综合题屮利用奇偶性来综合考查函数的性质也会出现 高考赏析 1. (2011?江西 ) 观察下列各式:5 =3125,5 6 =15625,57 = 78125,.,则 5如的末四位数字为 A. 3125 B. 56
2、25 C. 0625 D. 8125 【解析】 ? f (x) = 5f (4) = 625,/(5) = 3125,/(6) = 15625,/(7) = 78125, f (8) = 390625 2011-4 = 2008-1,./(2011) = *8125,故选D 2. (2010 ?广东 ) 若函数f(x) = 3 X + 3- x g(x) = 3 x-3-x 的定义域均为R,则 A. /(x)与g(x)均为偶函数B./W为奇函数, ?(兀) 为偶函数 C. /(X)与g(x)均为奇函数D. /(x)为偶函数 .g(x)为奇函数 【解析】/(-x) = 3 _t + 3r = /
3、(x), g(-x) = 3_x -3A = -g(x).故选 D. 3. (201 O?山东 ) 设/( 兀)为定义在R上的奇函数,当兀20时,/(4二2+2口7?(/7为常数 ),则/(-!) = A. 3 B. 1 C.-l D.-3 【解析】由f(x)为定义在R上的奇函数可知1,于是/(-I)=-/(I) =-(2+2-1) =-3 故选D. 4. (2010 -重庆) 已知函数 /( 兀)满/(I) =4/(x)f(y) =f(x+y)+/(x-y)(x,yG), 则/(2010)=_. 【解析】取x = ,y = 0得/(0)= *,法一:通过计算/(2),/(3),/(4) .
4、. 寻得周期为6 . 法二:取 x = n,y = lt有f(n) = /(n+l)+同理/(n+l) = f(n+2)+ /(;?),联立得f(n+2) = -f(n一1), 所以T = 6,故/(2010) = /(0) = i. 5. (2002?天津 )设函数/(x)在( 一oo,+oo) 内有定义,下列函数:?y = -|/(x)|;y = xf(x 2); y = -/(一兀) ;:y = /(x) - f(-x)屮必为奇函数的有 _ . 【解析】由于函数定义域为对称区间,利用奇函数的定义易得为所求. 基础巩固 6.设函数/(x)(XG R)为奇函数,/(I) = p f(x +
5、2) = /(x) + /(2),则 /= A. 0 B. 1 C. - D. 5 2 【解析】法一 : 直接法 . 令兀=一1,?/(1)=/(一1)+/,由于/( 兀)为奇函数,:.f(-r)=-f(r),f(2)=i再分 别令 X = 1/ = 3,即得结论 . 法二:由于7V+2) = /(x) + /(2),可取/(x)=v/(l)=-,.=-,/(x)=-x ? /(5)=丄. 2 2 2 f(-x)=f(x) 考点 8函数的奇偶性和周期性 故选0. 7.定义在R上的函数 /( 兀) 满足/(x) = /(x+2),当兀w 3,5时,/( A)=2-|X-4|, 则 A. /(si
6、n-)/(cosl) C. /( 心刍/(sin2) 6 6 3 3 【解析】法一:当兀w 一1,1时,x+4w3J,?/(x)=/(x+4)=2 |x|,是偶函数,在-1,0为增函 数,在0,1 上为减函数,又cos2=sin( 2),sin2=sin(-2). /(cos 2) = /sin(2)而0vsin(2一)0时,/(x)=log(l+x),则/(-2) = _ 【解析】? /(x)是定义在R上的奇函数 , ?/( 一2) = -/(2) = - log3 3 = -1, 能力提高 13.已知/(x) = x 2 + log a (x + 71+ x 2),且/ (2) = 3.3
7、73,求/( 2). 【解析】令g(x) = log “(x + Vl + x 2),易知 g(x)为奇函数 ,/(-2) = 4.627. 对任意整数兀 ,/(x) = /(x-1) + /(x +1),且/(0) = 19/(4) = 93,求/(59)的值. 【解析】由题意知, /( 兀+1)=/(兀)一/( 兀一1), .-./(x+2) =f(x+l)-f(x) =f(x)-f(x-l)-f(x) =-f(x-l) ? /(x+3) =-f(x) = /(x+6) = f(x). ? /(59) = f(5) = /-f(3)= /+/(0) = 112 设周期函数f(x)是定义在R
8、上的奇函数,它的最小正周期为2,试求 / + /+ + /(1995) + /(1996)的值. 【解析】 ?函数/(%) 是定义在R上的奇函数,则/(0) = 0,又函数的故小正周期为2,?/(2灯=/(0) = 0. = /(-1) = -/(1),而/(_1) = /(-1 + 2) = /(I), /.-/(1)=/(1) =/(D =0. /./(2-1) =0. /(I) + /+ + /(1995) + /(1996) = 0 14. 设函数门尢 ) 的定义域关于原点对称 ,II满足(1) f(X-x= /(X|) /GY2)+ 1 ; (2)存在正常数d, _ /(x2)-/(
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