Bessel函数学习指导.docx.pdf
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1、 6.2 Bessel 函数 一、Bessel方程的解Bessel函数 l.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数2?第二类Bessel函数(Neumann函数) 3?第三类Bessel函数(Hankel函数) 4?常用Bessel函数的级数表示 二、Bessel函数的基本性质 1?与Bessel函数有关的微分公式和递推关系2?渐近性质 一、Bessel方程的解Bessel函数 l.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数 (1)Bessel方程的级数解 “阶Bessel方程 1 +yf+)y - 为方便起见将上列方程变形为x 1 2 3 4 y (x) + xyx ) + (x
2、 2 一v 2)y(x) = 0 x=0 为其正则奇点。 y(x) = x pa nx n 设方程的解为 M=o 归并同次幕系数,得 p(p 一1) +。一 “2 0护 + (P +1)/2 +(Q +1) - #2?严 1 CO +Y (尢 + Q )? + Q T) + (卫 + Q )-内鶴 + an_2x n+p = 0 n=2 使X的同次幕系数为零,冇 3?Bessel函数的零点 三、 生成函数与积分表示 1. Bessel函数的生成函数 2.Bessel函数的积分表示 四、与Bessel方程有关的本征问题 2 ?方程的通解 3 ? 本征值和本征函数 4 ? 本征函数的正交归一关系
3、4?按本征函数的广义Fourier展开 五、可化为Bessel方程的微分方程 六、变型(或虚案量)的Bessel函数 七、例题 (6.2-1) (呦 H0)代入上列方程 , Q(QT)+ Q-V 2% = /( PX = o Q(Q + 1)+ Q + 1_?冏二 /(p + l = 0 因为旬丸 , 从(6.2? 3)得到指标方程 f(p) = p(p T) + Q 一“勺= p2-v 2 = 0 解得它的两个根为 P=V ,设R“工0 =匕戲=T。 令P=P严V由( 6.2-4)式得 v(v +1) + v +1 -v2ax = (2財+ l)d二0 a = 0 9 由(6.2? 5)式得
4、到系数递推关系 f(p + n)an+an_2 -(y + n)(y + n- l) + (y + n)-v 2a n +2),当 n 为偶数时可由购表示;当n 奇数时,町由勺表示。 因为勺 =0,故所有的咳+1 = 0 妒 0丄 2,?。 _ 1 吆二_2陀优+可7 -1 2%(片+”)?22(-1)(-1+V) _22-b(l + v) r(v+i)=(T) 右一 2 - : - 勺 2%?片 ! (十+卜+ 1) 因此,求得方程 (6.1-1)式的一个解 g r(v+i) 川)“ 若(严汕+严 (2)第一-类Bessel函数 2k (6.2 - 3) (6.2 - 4) /(P+72)+
5、 。吋, , ) =0, J=o山于方程的另 J (r 一奇点是 X=oo,因此,级数八丿的收敛范围是0 J-l/2( X) 等在 X=0 处发散。 返回页首二、Bessel函数的基本性质 1 ?与Bessel函数有关的微分公式和递推关系 (1) 与Bessel函数有关的微分公式 亘才人 ( 切二疋小 dx (6.2 ? 22) 利用(6.2? 20)式,得到一般的半奇数贝塞尔函数的初等函数表示式 (6.2-19) 1 J1 (对 = 2 sinx (6.2-20) (x)= 2 sinx 亘时 7(对=一厂乙 +2) dx COSX J ( X) 二 _2 COSX.N (X)二- 71X
6、J ,砒二 _2 (2) Bessel函数的递推关系式 求出(6.2? 21)和(6.2? 22)左边的导数并化简 , 得 到 讥(天)+vg (x)二xJyA(X ) 工此(x ) + vJy(x) = -Vv+1(X ) 将上两式相加减,又可分别得到 人 _i (x)- 人+i (%) = 2:(x) 2v 人 T (x) + 人+1 (x)二一人 (x) X 以上两式称为Bessel函数的递推关系式。 在(6.2? 22)式中, 令 V =0,又可得到 (6.2 - 29) ( 3) 柱函数 公式(6.2 ? 21)、(6.2 - 22)和(6.2 ? 27), (6.2 ? 28)对
7、Neumann 函数 TJ / I 丿也适用。通常把任意一个满足这些递推关系 的函数称为柱函数。 注意: 柱函数必满足Bessel方程,但满足Bessel 方程的解不一定是柱函数。八 7 都是柱函数。 返回页首 2?渐近性质(图1,图2) 当“0 时, (6.2 ? 23) d“sinx 、 (6.2 ? 24) (6.2 - 25) (6.2 ? 26) (6.2 - 27) (6.2-28) Hankel 函数 (1)在 x=0 的附近,略去高阶无穷小,可得 匹 3 T 71 2 v 7 T -(ln- + y) v = 0 .712 而 Neumann函数 %“)是发散的(图6.4)。H
8、ankcl 函数与 Neumann函数 1 1? X-8 时,几(划、”(划的渐近行为将类似于“X和 dr 。实际上有( *详见参考书 目12 13o 7。) “、| 2 ?/冗v 兀、 (6.2 ? 34) 显然, 若要求方程 (6.2-1)在(0, 8)上的有限解 , 应在解式 (6.2? 20)中取 C2=0。3?Bessel函数的零点 Bessel方程的木征问题与Bessel函数的零点启密切关系。 从图 6.5简要叙述整数阶Bessel函数零点的性质。 从(6.2? 7)式容易看出 几(- 刃二( -1广几 J (r 因此,只要研究xNO 时 朋 丿零点的性质。由图6.5可以看出 :
9、J (r J (r (1)用 丿冇无穷多个实数零点,而H?在数轴上关于原点对称地分布(故以后只须研究用 丿的无穷多 个 正零点)。 几(力与几 +1)(只)的零点此相间,即几(X)的任意两个相邻零点之间必存在一个仏几仅存在一个 几+1G)的零点。 U (税)J LL (“)_ /(用)? 77 以” 表示八丿的第 k 个正零点,在k?l 吋由(6233)式可得 +1 氏 J (r 除 x=0 外,八丿的零点都是一阶的。 J (x m=ont,Jo (0)=1, x=0 不是零点, mHO 时,x=0 为联、/ 的 m 阶零点。 )仏(河 通常,将所有不等于零的零点从1开始编号,称为第一个零点宀
10、 , 第二个零点 3 , ,第 k 个零点 在 x=0 点, 几(0) = 5(0)=0 (6.2 - 32) (6.2 ? 31) 即第一类 Bessel函数是有限的 , 有同样的奇界性。 z 7TV 冗、 cos(x -TI ) (6.2 -33) (6.2 ? 35) 2 将等于零的零点规定为第零个零点,即 J (x 恥“( mH0 时) 侑第零个零点。因为Jo(O)HO, Jo(x)无第零个零点。 Bessel函数的零点值可以查表求出。 返回页首例6.2-1 x J Ax)dx 计算不定积分J * 解: ( 兀)兀 =jx 2 x 2 J2(x)Jx =x 4 J 2(x) - 2 J
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