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1、函数关系的建立 【知识提要】 1、对实际问题进行抽象概括2、建立函数模型3、求解函数模型: 【例题讲解】 例1、轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比。当速度为10海里/ 小时的时候,燃 料费用为每小时30元,其余费用(不论速度如何) 都是每小时480元。若甲乙两地相 距1000 海里,轮船从甲地匀速行驶到乙地。 (1)写出全稈总费用y关于速度v的函数解析式; (2)当速度多大时,全程总费用最小? 例2、某商场对顾客实行优惠活动,规定一次购物付款总额:200元以内(包括200元) 不予优 惠;超过200元不超过500元,按标价9折优惠;超过500元其中500元按 优惠,超过部分按7折优
2、惠,某人两次购物分别付款168元和423元,若他一次购物 , 求 应付款多少元 . 例3、 已知边长为4的正方形(如图)截取一角成五边形ABCDE,其中AF = 2,BF =1,在 边AB上求一点P,使矩形PNDM的面积最大。 L M C 当这两个圆的半径分别为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆半径分别为何值时, 两圆 面积之和有最大值? 例5、已知ABC为正三角形,AB = 2, P, Q依次为AC, AB 上的点,且线段PQ将ABC分为而积相等的两部分。 设AP - x, AQ -1, PQ - y。 用解析式将t表示成兀的函数;用解析式将y表示成兀的函数; 求y的最大值和最小值。
3、例6、如图:AB是圆的直径,C为延长线上一点,且AB = 2, BC = 1, P为半圆上任意一点(戶 和久B不重合)。令y =PA-PC,问P在何位置时y取得最大值,并求其最大值。.一 - 例4、 如图, 己知正方形ABCD的边长为1, 且 圆Q与圆。2外切。 求圆0与圆。2的半径之和; 圆0与BC、CD边相切,圆O,与DA、AB边相切 , 【归纳小结】 数学建模分析的步骤: 审题; 建模:设出未知量、注意函数定义域、; 求解; 答句。 课后练习】 1.某商品每件成木80元,售价100元,每天售出100件。若售价降低乂成,售岀商品的数 Q 量就增加一兀成。若要求该商品一天营业额至少10260
4、元,且不能亏本,求兀的取值范围。 2.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆 / 小时)与汽 车的平均速度卩(千米 / 小时)之间的函数关系为 (v0)o V 2+3V + 16OO (1)在该时段内,当汽车的平均速度y为多少时,车流量最大?最大车流量为多少(精确到 0. 1千辆/ 小时)? (2)若要求在该时段内车流量超过10辆/ 小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 3.已知矩形ABCD. AB = 4cm, BC = 6cm,疋为边BC的屮点,动点P以每秒2cm的速度 , 从点A出发,沿着AAED的边,按照ATETDTA的顺序坏行一周。 设动点F从A 出发
5、经过兀 秒后,MBP的面积为ycm 2 (点P与A重合时,规定面积为0cm 2), 试用 解析式 4.已知三角形两边Z和为4cm,这两边夹角为60, 求这三角形的周长的最小值与而积的最 大值。 5.如图,在边长分别为1与Q(dl)的矩形中,截出四边形ABCD,求四边形ABCD的面 积的最大值。 6.如图在一块半圆形的木版上截取AABC,使半圆的直径为AB,点C落在圆弧上,半圆的直径为 a,设S是余料(图中阴影部分)的而积,试根据下列各题所设的兀用解析式将S表示成兀的函 数,并求出S的最小值。 7.在边长为10的正三角形A3C屮,以如图方式内接两个正方形(甲乙两个正方形有一- 边 重迭, 都有一
6、条边落在BC上,甲有一顶点在4B上,乙有一顶点在AC上),求这样内 接的两个正 方形面积和的最小值。 参考答案 C 1-x 例1. (Dy = 300V + 480000,V0;(2)V = 40 海里时,儿湖=24000元。V 例4 (1)斤 + 巧=2-2 , (2)5 =龙(斤2 + r22) = + (2血一” )2 当斤 =乙=匕1时,两圆面积之和有最小值u=(一3冋兀 22 2 2 例5x (l)r = , xe 1,2 x (2) y = J 兀2+占_2 施1,2 (3) x = V2, jmin = V2 ; x = l, 2, ymax = V3 练习 起,2 2-昨千米
7、/ 小时, 最大车流量约为“千辆 / 小时。(25, 64) 5、S = 2兀2 +(Q + 1)X, xe(0,1,当1 Vd53 时,5nlax =(雹),当a3时,5nlax 6、(1)作CH丄AB,H为垂足,设AH = x, S = 7tcr 一 兀),0 x a 8 2 设AC = x t S = 7tci _ 兀 , 0 v x v a 8 2 a。yz 设ZCAB = x , S=加2一 一6/2sin 2x, 0x- 8 4 2 7、甲边长为兀,乙边长为y,则x+y = 15 5徭,S = F+y2, $ 75(2-馆) 例2? 546. 6元 X 例3. S = x(5 一), 2x4, 2 max =12 例6、设 | AP = x, y = x9-2x 2 xe (0,2), x =, 2 9V2 3. 12 y A, 32 4兀, 0x5 5 x8 4、设d + b = 4,周长的最小值二6,面积的最大值二巧
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