高三圆锥曲线经典总结归纳.pdf
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1、 . Word 资料 课题 高考数学复习专题圆锥曲线 教学目标 1. 掌握三种圆锥曲线的定义、图像和简单几何性质。 2. 准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)。 3. 熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、 定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)。 4. 熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在 和不存在的各种情况、截距是否为0 等等) 。 5. 在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算。 6. 了解线性规划的意义及简单应用。 7. 熟悉圆锥曲线中基本量的计算。 8 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程
2、的求解方法(如:定义法、直接法、相关 点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)。 9 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线 的位置关系解决一些常见问题。 重点难点 1. 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法。 2. 掌握圆锥曲线中基本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方 法。 圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义 : (1)第一定义 中要重视“括号”的限制条件 :椭圆中 ,与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数 2a,且此常数 2a一定要大于 21F F,当常数等于 21F F时,轨迹是线段 F1F2,当常数小于
3、21F F时, 无轨迹; 双曲线中 ,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数 2a一定要小于 |F1F2|,定义中的 “绝对值”与 2a|F1F2|不可忽视 。若 2a|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2为端点的两 条射线,若 2a|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如( 1)已知定点 )0, 3(),0, 3( 21 FF,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A 4 21 PFPF B 6 21 PFPF C 10 21PFPF D 12 2 2 2 1 PFPF (2) 第二定义 中要注意定点和定直线是相应的焦点和准
4、线, 且“ 点点距为分子、点线距为分母 ”, 其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距 . Word 资料 离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q及抛物线 4 2 x y上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是 _ 2.圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的 方程) : (1)椭圆:焦点在x轴上时1 2 2 2 2 b y a x (0ab) cos sin xa yb (参数方程,其中为参 数) ,焦点在 y 轴上时 2 2 2 2 b x a y 1(0
5、ab) 。方程 22 AxByC表示椭圆的充要条件是什么? (ABC0,且 A,B,C 同号, AB) 。 如(1)已知方程1 23 22 k y k x 表示椭圆,则 k 的取值围为 _ (2)若Ryx,,且623 22 yx,则yx的最大值是 _ , 22 yx的最小值是 _ (2)双曲线 :焦点在x轴上: 2 2 2 2 b y a x =1,焦点在 y 轴上: 2 2 2 2 b x a y 1(0,0ab) 。方程 22 AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且 A,B 异号) 。 如(1)双曲线的离心率等于 2 5 ,且与椭圆1 49 22 yx 有公共焦点,则该双曲线
6、的方程_ (2)设中心在坐标原点 O,焦点 1 F、 2 F在坐标轴上,离心率2e的双曲线 C 过点)10, 4(P, 则 C的方程为 _ (3)抛物线 :开口向右时 2 2(0)ypx p,开口向左时 2 2(0)ypx p,开口向上时 2 2(0)xpy p,开口向下时 2 2(0)xpy p。 3.圆锥曲线焦点位置的判断 (首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由x 2 , y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程1 21 22 m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值围是 _ (2)双曲线 :由x 2 ,y 2 项系数的正负决定,焦点在系
7、数为正的坐标轴上; (3)抛物线 :焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒 : (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是 椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b,确定 椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口 方向; (2)在椭圆中,a最大, 222 abc,在双曲线中,c最大, 222 cab。 4.圆锥曲线的几何性质 : (1)椭圆(以1 2 2 2 2 b y a x (0ab)为例) :围:,axabyb;焦点:两个焦 点(,0)c;对称
8、性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心( 0,0) ,四个顶点(,0),(0,)ab,其 中长轴长为 2a,短轴长为 2b ;准线:两条准线 2 a x c ; 离心率: c e a ,椭圆01e, e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e,则m的值是 _ (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,则椭圆长轴的最小值为_ (2)双曲线 (以 22 22 1 xy ab (0,0ab)为例):围: xa 或,xa yR;焦点:两 个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心( 0,0) ,两个顶点(
9、,0)a,其中 . Word 资料 实轴长为 2a,虚轴长为 2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设 为 22 ,0xyk k;准线:两条准线 2 a x c ; 离心率: c e a ,双曲线1e,等轴双曲 线2e,e越小,开口越小,e越大,开口越大; 两条渐近线: b yx a 。 如(1)双曲线的渐近线方程是023yx,则该双曲线的离心率等于_ (2)双曲线 22 1axby的离心率为5,则:a b= (3) 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0 ) 中, 离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值围是 _ (3)抛物线(以 2 2(0)yp
10、x p为例) :围:0,xyR;焦点:一个焦点 (,0) 2 p ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴0y,没有对称中心,只有一个顶点 (0,0) ;准线:一条准线 2 p x; 离心率: c e a ,抛物线1e。 如设Raa,0,则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 _ 5、点 00 (,)P xy和椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0ab)的关系 : (1)点 00 (,)P xy在椭圆外 22 00 22 1 xy ab ; (2)点 00 (,)P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1; (3)点 00 (,)P xy在椭圆 22
11、00 22 1 xy ab 6直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不 一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直 线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交 不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也 仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值围是 _ (答: (2)直线 ykx1=0 与椭圆 22 1 5 xy m 恒
12、有公共点,则 m 的取值围是 _ (3) 过双曲线1 21 22 yx 的右焦点直线交双曲线于A、 B 两点,若AB4, 则这样的直线有 _ 条 (2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线 相切; (3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线 相离。 特别提醒 : (1)直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平 行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点;(2)过双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 外一点 00 (,)P x
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