高考专题复习:函数、导数及其应用.pdf
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1、第 1 页 共 227 页 函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 第 2 页 共 227 页 1函数与映射的概念 函数映射 两集合 A,B设 A,B 是两个非空的数集设 A,B 是两个非空的集合 对应关系f: AB 如果按照某种确定的对应关系f,使 对于集合 A 中的任意一个数x, 在集 合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对 应 如果按某一个确定的对应关系f,使对 于集合 A 中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 称 f: AB 为从集合A 到集合 B 的 一个函数 称对应f:AB 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法yf(x), xA 对应 f:AB
2、是一个映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量, x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然,值域是集合B 的子集 (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法 3分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 第 3 页 共 227 页 数通常叫做分段函数 小
3、题体验 1(2018 台州模拟 )下列四组函数中,表示相等函数的是() Af(x)x 2,g(x) x2 Bf(x) x 2 x ,g(x) x x 2 Cf(x)1,g(x)(x1)0 Df(x) x 29 x3 ,g(x)x3 解析: 选 B选项 A 中, f(x)x2与 g(x)x2的定义域相同,但对应关系不同;选项B 中,二者的定义域都为x|x 0,对应关系也相同;选项C 中, f(x)1 的定义域为R,g(x) (x1)0的定义域为 x|x 1;选项 D 中, f(x) x 2 9 x3 的定义域为 x|x3,g(x)x3 的 定义域为R. 2若函数yf(x)的定义域为 x|3x8,
4、x5,值域为 y|1y2,y0,则y f(x)的图象可能是() 解析: 选 B根据函数的概念,任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应,故排除C 项; 由定义域为 x|3x8,x5排除 A、D 两项,故选B. 3函数 f(x)2 x 1 1 x2的定义域为 _ 解析: 由题意得 2x10, x 20, 解得 x 0 且 x 2. 答案: 0,2)(2, ) 第 4 页 共 227 页 4若函数f(x) ex 1,x1, 5x2,x1, 则 f(f(2)_. 解析: 由题意知, f(2)541, f(1)e01, 所以 f(f(2) 1. 答案: 1 5已知函数f(x)ax3 2x 的图象过点 (
5、1,4),则 f(2) _. 解析: 函数 f(x)ax 32x 的图象过点 (1,4), 4 a2, a 2,即 f(x) 2x32x, f(2) 22322 20. 答案: 20 1求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法,同时要注意函数的定义 域 2分段函数无论分成几段,都是一个函数,不要误解为是“由几个函数组成”求分 段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论 小题纠偏 1(2018 嘉兴模拟 )已知函数f(x) log2x,x 0, x 2x,x0, 则 f f 1 2 _,方程 f(x)2 的解为 _ 解析: f f 1 2 f log21 2 f(1)0. 当
6、x0 时, log2x2,得 x4; 当 x0 时, x2x2,得 x 2 或 x 1(舍去 ) 所以 f(x)2 的解为 2 或 4. 第 5 页 共 227 页 答案 :02 或 4 2已知 f 1 x x25x,则 f(x) _. 解析: 令 t 1 x, x 1 t . f(t) 1 t2 5 t . f(x) 5x1 x 2(x0) 答案: 5x1 x2 (x0) 考点一函数的定义域基础送分型考点 自主练透 题组练透 1y x1 2x log2(4x 2)的定义域是 ( ) A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2) C(2,0)1,2) D2,01,2 解析: 选 C要使函数有意义
7、,则 x1 2x 0, x0, 4x 20, 解得 x (2,0)1,2), 即函数的定义域是(2,0)1,2) 2已知函数yf(x 2 1)的定义域为 3,3 ,则函数yf(x)的定义域为 _ 第 6 页 共 227 页 解析: 因为 yf(x21)的定义域为 3,3,所以 x3,3 ,x 21 1,2, 所以 yf(x)的定义域为 1,2 答案 :1,2 3若函数f(x)x2ax1的定义域为实数集 R,则实数a 的取值范围为_ 解析: 若函数 f(x)x 2ax1的定义域为实数集 R, 则 x2ax10 恒成立,即 a24 0,解得 2a2, 即实数 a 的取值范围为2,2 答案: 2,2
8、 谨记通法 函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解 (2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解 (3)抽象函数: 若已知函数f(x)的定义域为 a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b 求出; 若已知函数f(g(x)的定义域为 a,b,则 f(x)的定义域为g(x)在 xa,b时的值域 考点二求函数的解析式重点保分型考点 师生共研 典例引领 (1)已知 f x1 x x2 1 x 2,求 f(x)的解析式; (2)已知 f 2 x 1 lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且f(0)0
9、,f(x1) f(x)x1,求 f(x); (4)已知函数f(x)满足 f(x)2f(x)2x,求 f(x)的解析式 解: (1)(配凑法 )由于 f x 1 x x2 1 x2 x 1 x 22, 所以 f(x)x22, x2 或 x 2, 故 f(x)的解析式是f(x)x2 2,x2 或 x2. (2)(换元法 )令 2 x 1t 得 x 2 t1,代入得 f(t)lg 2 t1,又 x0,所以 t1, 故 f(x)的解析式是f(x)lg 2 x1,x1. (3)(待定系数法 )设 f(x) ax2bxc(a0), 由 f(0) 0,知 c0,f(x)ax2bx, 又由 f(x1) f(x
10、)x1, 第 7 页 共 227 页 得 a(x1)2 b(x 1)ax2bxx1, 即 ax2(2ab)xa bax2(b1)x1, 所以 2abb1, ab 1, 解得 ab 1 2. 所以 f(x) 1 2x 21 2x,x R. (4)(解方程组法 )由 f( x)2f(x)2 x, 得 f(x) 2f(x)2 x, 2,得, 3f(x)2x 1 2x. 即 f(x) 2x 12x 3 . 所以 f(x)的解析式是f(x) 2 x12x 3 . 由题悟法 求函数解析式的4 种方法 即时应用 1已知函数f(x1) x x1,则函数 f(x)的解析式为 () Af(x) x1 x2 Bf(
11、x) x x1 Cf(x) x1 x Df(x) 1 x2 解析: 选 A令 x1t,则 xt1, f(t) t1 t2, 即 f(x) x1 x2. 第 8 页 共 227 页 2若二次函数g(x)满足 g(1) 1,g( 1) 5,且图象过原点,则g(x)_. 解析: 设 g(x)ax2bxc(a0), g(1) 1,g(1)5,且图象过原点, ab c1, ab c5, c0, 解得 a3, b 2, c0, g(x)3x 22x. 答案: 3x22x 3已知 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3x,则 f(x)_. 解析: 2f(x)f 1 x 3x, 把中的x 换成 1 x ,得
12、2f 1 x f(x) 3 x. 联立可得 2f x f 1 x 3x, 2f 1 x f x 3 x, 解此方程组可得f(x) 2x 1 x(x 0) 答案 :2x 1 x (x0) 考点三分段函数题点多变型考点 多角探明 锁定考向 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现,试题难度一般较小 常见的命题角度有: (1)分段函数的函数求值问题; (2)分段函数与方程、不等式问题 题点全练 角度一:分段函数的函数求值问题 1(2018 浙江五校联考)已知函数f(x) 4x,x0, 3 x,x0, 则 f(2)f(4)() A. 10 9 B. 1 9 C87 D. 730 9 解析: 选
13、 B由题意可得,f(2)f(4)3 2 441 9. 角度二:分段函数与方程、不等式问题 第 9 页 共 227 页 2(2018 浙江考前冲刺卷)已知f(x) log21x ,x 1, 3 x 7, x1, 则不等式f(x)2 的解集为 () A(3,2) B(2,3) C(2,3) D(3, 2) 解析: 选 A当 x1 时, f(x)2 可化为 log2(1x)2,即 01 x4,解得 3x 1;当 x1 时, f(x)2 可化为 3x72,即 3x9,得 1x2.综上,不等式 f(x)2 的解 集为 (3,2) 3(2019 嘉兴高三基础测试)设函数f(x) 3x1,x1, 2 x,x
14、1, 则 f f 2 3 _,若 f(f(a)1,则实数a 的值为 _ 解析: f 2 3 1, f f 2 3 f(1)2.对 f(f(a) 3f a 1, f a 1, 2f a,f a 1, 当 a 2 3时, f(a) 3a 1 1;当 2 3a 1 时, f(a)3a11;当 a1 时, f(a)2a2 1, f(f(a) 3 3a1 1,a 2 3, 23a 1,2 3a1, 22a,a1, 由 f(f(a)1,得3(3a1)11, a 5 9 2 3,符合题意; 23a 1 1,a 1 3 2 3,舍去; 22 a1 不成立,舍去故所求实数 a 的值为 5 9. 答案: 2 5
15、9 通法在握 1分段函数的求值问题的解题思路 求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求 值,当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值 2分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来 演练冲关 1已知 f(x) 1 x1 2 x2,x0, f x 3 ,x0, 则 f( 2 019) _. 解析: 因为当 x0 时,f(x)f(x3),所以 f( 2 019)f(3673)f(0) 1 0 1 202 0. 第 10 页 共 227 页 答案: 0 2(2018 浙江十校联盟适考)已知函数f(x) 2 x,
16、x0, x1,x0, 若 f(a)f(1)0,则实数a 的值为 _ 解析: 当 a0 时,由 f(a)f(1)0 得 2a 20,无解;当a 0 时,由 f(a)f(1)0 得 a120,解得 a 3. 答案: 3 3(2018 杭州七校联考)已知函数f(x) 1 2x,x0, 2x x2, x0, 若 f(2a2)f(|a|),则实数 a 的取值范围是_ 解析: 由题意知,f(x) 1 2x, x0, x 1 21,x 0, 作出函数f(x) 的大致图象如图所示,由图象可知,函数f(x)在 R上单调递增,由f(2 a2)f(|a|),得 2a2|a|.当 a0 时,有 2a2a,即 (a2)
17、(a 1) 0,解得 2a1,所以 0a 1;当 a0 时,有 2 a2 a,即 (a2)(a1)0,解得 1a 2,所以 1 a0.综上所述,实数a 的取值范围是(1,1) 答案: (1,1) 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1(2019 杭州调研 )函数 ylog2(2x4) 1 x3的定义域是 ( ) A(2,3)B(2, ) C(3, ) D(2,3)(3, ) 第 11 页 共 227 页 解析: 选 D由题意,得 2x 40, x30, 解得 x2 且 x3, 所以函数ylog2(2x 4) 1 x3 的定义域是 (2,3)(3, ) 2已知 f 1 2x1 2x5,且 f(a)6
18、,则 a 等于 ( ) A 7 4 B 7 4 C 4 3 D 4 3 解析: 选 B令 t1 2x1,则 x2t2,f(t)2(2t2)54t1,则 4a16,解得 a 7 4. 3(2018 萧山质检 )已知函数f(x) x 1 x2,x2, x 2 2,x2, 则 f(f(1)() A 1 2 B2 C4 D11 解析: 选 Cf(1)1223, f(f(1)f(3)3 1 324. 4已知 f(x)满足 f 3 x 1 lg x,则 f 7 10 _. 解析: 令 3 x 1 7 10,得 x10, f 7 10 lg 101. 答案: 1 5(2018 绍兴模拟 )设函数f(x) e
19、 x,x0, ln x,x0, 则 f f 1 2 _,方程f(f(x)1 的解集为 _ 解析: f 1 2 ln 1 20, f f 1 2 f ln 1 2 eln 1 2 1 2. x0 时, 0ex1,x 0 时, ex1, 当 f(x)0 时, 由方程 f(f(x)1,可得 f(x)0, 即 ln x0,解得 x1. 第 12 页 共 227 页 当 f(x) 0 时,由方程f(f(x) 1, 可得 ln f(x)1, f(x)e, 即 ln xe,解得 xee. 答案 : 1 2 1,ee 二保高考,全练题型做到高考达标 1已知函数f(x)x|x|,若 f(x0)4,则 x0的值为
20、 () A 2 B 2 C 2 或 2 D2 解析: 选 B当 x0 时, f(x)x 2,f(x 0)4, 即 x204,解得 x02. 当 x0 时, f(x) x2,f(x0)4,即 x2 04,无解 所以 x02,故选 B. 2(2019 台州模拟 )已知 f(x) log3x, x0, axb,x 0 (0a1),且 f(2)5,f(1)3,则 f(f(3)() A 2 B2 C3 D 3 解析: 选 B由题意得, f(2)a 2 b5, f(1)a 1b3, 联立,结合0a1,得 a 1 2,b1, 所以 f(x) log3x,x0, 1 2 x 1,x0, 则 f(3) 1 2
21、3 19,f(f( 3)f(9)log 39 2. 3(2018 金华模拟 )函数 f(x)4|x|lg x 25x6 x3 的定义域为 () A(2,3) B(2,4 C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6 解析: 选 C要使函数有意义,则 4|x|0, x 2 5x 6 x3 0, 即 4x 4, x2且x3, 第 13 页 共 227 页 3x4 或 2x3, 即函数的定义域为(2,3)(3,4 4(2018 金华联考 )若函数f(x)的定义域是 1,2 019,则函数g(x) f x1 x1 的定义域是 () A0,2 018B0,1)(1,2 018 C(1,2 019 D1,1
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- 高考 专题 复习 函数 导数 及其 应用
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