《《微积分教学资料》62多元函数的基本概念.doc.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《微积分教学资料》62多元函数的基本概念.doc.pdf(7页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1? 已知 /(x+y,) = x 2-y2,求 f(x, y) o X 【解】由于f(x+y, ) = x 2 -y2, 令 x- st-y = u , = v , X X uv 2.求下列各函数的定义域 : ( 2)z=. ; J2-宀才 【解】要使函数 z= / 1有定义,必须使 Q 2-x 2 -y 2 2-x 2 -y 20 即须使 2-x 2-y20= x2 + y2 0 x+y 0 即须使l =x+yl, 1 Jln(x+y) 的定义域为 = (兀 , 刃卜+y 1。 (5) u JR f z H ( /? r 0 ) ? * 7%2 + / + z 2-r2 【解】要使函数U
2、= JR 2- X 2- y2 - z2 + . 有定义,必须使 Jx2 + y 2 + z2-r2 R 2-x2-y2-z20 0 得到r v F + y 2 + z2 0 【解】要使函数 z = ln(y-x) + 必须使彳 0 jl 兀 2 一), 工 0 l-x 2-y20 yx 亦即使 J%0 x 2 + y2 0 x2 + y2 + z2 - r2 0 有定义, z = ln(y-x) + / X 兀 2 + r ?2 在点(OJ)及其邻域上有定义,连续, x + y yTl ? 由于 1 _cos + y2 = 1 _ ( _2sin2 + b ) = 2sir? + 代 1 s
3、m - = lim-( ) 2 =-1 yXo 2 Jxf2 (3) lim _ _ J4o + y 亠, Jxd 由于 lim 斗 =0,由夹逼定理知 , XTO J2 尸() 厶 于是,当 x 0 时,xsin也是无穷小 , 【解】由于x 2 + y2 2x), 得J分 + y2 2 即有 H0 1 - cos 2sin 2 2 =lim 2 XTO )TO sin- - - =lim 2() 2 锻賦+ b 2 7 X 2 + y2 从而, lim 厂 W + y 从而得 limxsin XTO y-0 4?证明下列极限不存在: (l)lim XTOy0 【证明】当点沿直线y = kx趋
4、于点 (0,0) 时,有 lim rx+y x + kx XTO + I + v0 丿 可见,lim 兰二上的值随 R的不同取值而变化,从而知该极限不存在。 ; 二肿 +y 证毕。 (2) lim 厂 o 【证明】由于函数y = -的定义域为 ( 兀, 刃卜+歹工 0,可知点 (0,0)恰为定义域的边 缘之外,它只能使函数在点(0,0)的半邻域内有定义,不满足二元函数极限定义622屮“邻 域内有定义”的要求,从而lim 旦不存在。 证毕。 5. 讨论下列函数的连续性: 2 ( i) /(x,y)= ;+久; 2 【解】由于当 = 0 时,函数无定义,故函数f(x,y) 二苓竺在 b 一兀二 o
5、 时不连续 , y- 兀 间断点集为 (x, y) y 2 - x = 0j o . 1 n xsin ycos , 兀 HO f (x, y) = x。 0, x = 0 -k l-k v x-y vx-kx lim - = lim - 【解】由于函数 /(x) = C0Sx, 中,对变量 y 没作任何限制,所以yw R, 0, x = 0 根据f(x 9 y) 的表达式,有 /(0, y) = 0, 而 lim /(x, y) = lim x sin ycos JVT() XTO x =sin limxcos - XTO时,x 是无穷小,cos 有界 XTO X X = sin yxO =0 = f(0,y), 可知函数 /(%, 刃在x = 0处连续, 而且,当兀工 0时,f(x,y) = xsinycos丄是有定义的初等函数,连续, sin ycos _ 0 综上知,函数 /(x, y) = 0 J 当点( 绘刃沿曲线 ) ,=兀 3 趋于点 (0,0)时,有 这说明极限趕册随点g)趋向于点 (O 。) 的不同方式而得到不同结果,从 yT( ) J 而知遷寻极限不存在。证毕。 【证法二I令严 2, 则遷帆卡符 “帆 r 疋 y lim , ”匕 + y x6 =lim - XTOI + I 可见其极限结果随k 的不同而变化 故 lim XTO y-0
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