《《微积分教学资料》36函数图形的描绘.doc.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《微积分教学资料》36函数图形的描绘.doc.pdf(9页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、9 x 丄一的斜渐近线的截距为b = -l, x + 1 x2 得曲线y二上的斜渐近线为y = X-. 1.求下列函数的渐近线 : (1) y = x 【解】因为曲线歹 = - 的定义域(一8厂l)U(-l,+8)是无限 区间, X + 1 水平渐近线 r 2 1 由于lim y = lim - = lim(x-l + - )非常数, XT? “T8 X + 1 XT8 % +1 (且无论是lim y还是lim y,极限结果与上面相同,) 2 矢训线尸汩无水平渐近纵 铅直渐近线 v 2 兀2 由于函数y =在点处间断,lim y= lim - = g , x+1 YT-1大 T-i + i (
2、且无论是lim y还是lim y,极限结果与上面相同) XT 厂 XT广 V 2 知曲线y =上一有一条铅直渐近线X = -1 o x + 1 斜渐近线 X 2 由 于lim丄=lim艺土1 XT8 兀 XT8 % = lim AT8 x(x+l) =lim - - XT8 1 1+- X 2 lim = lim ),知曲线y = YT?oo % AT+oo X X+1 有斜渐近线,其斜率为k = , XT + 8 又lim(y-d) = lim( -x) “Too A-co 兀 + 1 = lim 2 X+1 lim - - XT8 1 1 + - X lim(y-Ax) = lim (y-
3、kx)知曲线y = XT-8 JVT+8 ? X + 1 y = * ; 【解】 水平渐近线 丄 由于函数y二厂的定义域(oo,02 (0,+oo)是无限区间, ? - 丄 . -1 lim y = lim e x = lim e x = e = 1, XT? “Too_() X 知函数y二/ 匚有水平渐近线y = lo ( 双侧渐近 ) 。 铅直渐近线 由于函数在点x = 0处间断,且丄在点兀=0处的左右极限不相等,故应分 左右极限进行讨论 : 丄_J_ * = lim e x =0 非无穷大 , 1 - -oo X I 知曲线y = 有铅直渐近线x = 0 ( 左侧渐近 ) 。 斜渐近线
4、丄 y P X 1 1 1 由于lim= lim - = lim -=0x- XT8 兀XT8 X XT8 兀- e x 知曲线= e ”无斜渐近线。 y = ln(l + x) o 【解】 水平渐近线 由于函数y = ln(l + x)的定义域 (-1,+co ) 是右无限区间, ( 不须考察lim y) KT-oo 有lim y = lim ln(l +x) =+oo, XT2 X?+oo X II lim y = lim e XT0+ XT(f 0,( 且lim= lim) XT?8 X XT+8 JQ 由于函数y = ln(l + x)在点x = -l处无定义,且其定义域为(-1.+O
5、O),故只须考 察XT-广的情形:lim y= lim ln(l + x) = -oo , XT-广XT-广 知曲线y = ln(l + x)有铅直渐近线x = 1 ( 右侧向下渐近 ) 。 斜渐近线 1 = lim 旦丄=0,知曲线y = ln(l + x)无斜渐近线。 XT+co 2.作出下列函数的图形 : 【解】分析定义域和基木属性: 函数y= -2的定义域为(_oo,0)U(0,+oo),函数非奇非偶,无周期性, 分析单调性、极值、凹凸性、拐点, 作图表分析 : 知函数分别在 (-2)和(0,+oo)上单调增加,在(-2,0) 单调减少 , 曲线分别在 (?-3)和(X+oo)上是凹的
6、,在(-3,0)是凸的 , 由于lim丄 X?4oo V ln(l + x) lim - (l)y 4(x + l) .-x2 -(x + l)2x y =444(x + 2) y“_8(x + 3) x4 得函数有间断点x=0驻点x = -2,二阶导零点x = -3 无一. 二阶不可导点 , + 兀+ 2 + 0 、 -2 0 + y X + 兀+ 3 -1 + + 0 、 -3 0 + + kJ n U 在点x = 2处有极大值/(-2)= 4(2 + 1) -2 = -3,无极小值 , 由于/(-3)= 4(-3+ 1) (3)2 壬- 晋有拐点 ( 七号) 分析渐近线 由于lim|讯兀
7、 “)_2 = 00,知曲线有铅垂渐近线x = 0, XTO 【解】(1)分析定义域和基本属性 : 1工 函数y = 2的定义域为(_oo,+oo),偶函数,无周期性, 分析单调性、极值、凹凸性、拐点, 9 分 上1 上 y = -xe 2 , y“ = (x-l)(x + l) 2 , 得函数有驻点x = 0,二阶导零点x = l,无一、二阶不可导点 , 作图表分析: -1 一 X - + ? x-l - 兀+1 + 0 + + 0 + 7 -1 * + 1 + y CU 由于lim 4(x + l) 7 AT -2 = -2,知曲线有水平渐近线丿 =-2, 4(兀+1)_2 由于lim XT8 lim X 8 4(x + l)-2x 2 =0,知曲线没有斜渐近线。 作图 : X X 3 知函数在 (- 汽0)上单调增加,在 ?+OO)上单调减少 , 曲线分别在 (-00,-1)和(l,+oo)上是凹的,在(1,1)上是凸的 , 分析渐近线 2 =iim_L = o,知曲线有水平渐近线y = 0, 2e y 2 -=lim =0,知曲线没有斜渐近线。 2x 3e2 作图 : 由于/( 1)有拐点(1,十) 和(1, 由于hm-e XT8 2 由于liml3 XT0 2 “,知曲线无铅垂渐近线 , 1 e 由于 lim? XT8 x
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