《求闭区间上二次函数的最值的方法归纳》.doc.pdf
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1、闭区间上二次函数的最值 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数 的载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展, 随着区间的确定或变化, 以及在系数中增添参变数,使其乂成为高考数学中的热点。 一.定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的,给岀的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定 二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数y = -兀?+4x-2在区间0, 3上的最大值是 _ , 最小值是 解:函数 y = -x 2+4x-2 = -(x-2)2+2 是定义在区间0, 3上的二次函数 , 其对称轴方 程是兀=2,顶点坐标为(2, 2
2、) , ?且其图象开口向下,显然其顶点 横坐标在0, 3上, 如图1所示。函数的最大值为/(2) = 2,最小值为/(0) = -2 o 例2.已知2x 2 2,于是函数/(x)是定义在区间 -1, 1上的二次函 数,将 / (兀)配方得: 且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0, 3_ 2 内,如 (1)当-2 2a G tn, 4a ,/(x)的最 时, 4ac - h 2 加=G +j +3-1 二次函数 / (切的对称轴方程是X = 顶点坐标为3-L图象开口向上 I 2 4丿 由z2可得x = -0时,函数图象开口向上,如图5所示,当兀=1吋,函数取得最大值 即/(l) = 5t/
3、 + 6Z 2-l = 5 解得a = 1或a = -6 故G二l(a = _6舍去) 综上讨论,函数 /( 兀)在区间 -4,1上取得最大值5时,a = 2-或。 =1 解后反思:例3中,二次函数的对称轴是随参数a变化的,但图象开口方向是 固定的;例4中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数a变 化的。 三.定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数t而变化的,我们称这种情况 是“定函数在动区间上的最值”。 例5. 如果函数/(x) = (% - I) 2 + 1 定义在区间t, / + 1上,求于 (兀)的最小值。 解:函数/(x) = (x-l)
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