《高一数学函数模型及其应用复习》.doc.pdf
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1、3.2 函数模型及其应用 3. 2.1几类不同增长的函数模型 、点击考点 1.数学模型为一次函数的问题 - ?次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。 例 某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地, 在B地停留lh后, 再以50km/h 的速度返回A地,把汽午离开A地的距离X(km)表示为吋间/(h)( 从A地出发吋开始 ) 的函数,并 画出函数的图象;再把车速v(km/h)表示为吋间f(h)的函数,并画出函数的图象. 解汽车离开A地的距x km与时间/h之间的关系是: 60r, 虫0,2.5, 兀=0冃QH1)的函数叫做指数函数,而在牛: 产、生活实际中,以函y
2、= ha x + k 作为模型的应用问题很常见. 例某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%, 每 过滤一次町使杂质含量减少丄,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知: 3 lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771 ) 分析每次过滤杂质含量降为原來的2,过滤几次后杂质含量为?(-) w ,结合按市 3100 3 场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型 . 解析依题意,得(-r , 即(2)” 1 +咏 q 7.4,考虑到neN,即至少要过滤8次才能达到市场要求。 Ig3-lg2 4.数学模型为对数函数的问题 形如y = lOgt/
3、 X(GOH.GH1 )的函数叫做对数函数,01时?,此函数为增函数; 0% ,即“如意卡”便宜; 2 当96-时,刃0)时,试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量兀的两数. (2)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大? 解析(1)当05时,产品只能出售500件. (5 兀兀2)_(0.5 + 0.25 兀)(0 5). 2 (2)当05时,/(%) = 12-0.25%为单调减函数, ?= 10.75. 乂V 10.80 10.75 , A /(x)max =10.80 ,此时兀= 475 ( 件), ?当年产量为475件时,利润最大 . 点评求分段函数的最值和值域时,
4、应先分段分别求其最值和值域,再以各段的最大 值和最人者为函数的最人值,各段的最小值中最小者为函数的最小值;而各段的值域的并集 则是函数的值域。 第三章 单元知识梳理与能力整合 、考点聚焦 1.数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想。 例1某公司试销一种成木单价为500元/ 件的新产规 定试销时的销伟单价不低于成木单价,又不高于800元/ 经试销 调查,发现销伟量y (件)与销代 : 单价(元/ 件)可近似 一 次函数y = kx + b的关系(如图所示)。 (1)根据图象,求一次函数y = kx + b的表达式;(2) 销伟总价一成木总价)为S元。试用销伟单价x表示毛利润S;试问销
5、售单价定为多少时, 该 公司可获得最人毛利润?最人毛利润是多少?此时的销代: 最是多少 ? 解析(1)由图象知,当x = 600时,y = 400;当x = 700时,y = 300,代入y =也+ /? 中,得 函 数 与 方 程 函數的零点、与其对应方程 根的关系 用二分法求方程的近似解 函数的应用函 数 模 型 及 其 应 用 解 决 具 体 问 题 基本思想总结 设公司获得的毛利润(毛利润二 几类不同增长的函数模型 iin , 件, 看作 400 = 600“方k = -X. 300 = 700k+ b, 、b = 1000. y = -x +1000(5000, 所以在区间(2,3)
6、上,方程x 2-2x- = 0 有一解,记为旺 取2与3的平均数2.5 因为/(2.5) = 0.25 0,所以2 v 坷 0 ? w (2,2.5) /(2.25) 0= 和2.25,2.5) /(2.375) 0 ? w (2.375,2.5) /(2.375) 占w (2.375,2.4375) 因为2375与2.4375粕确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为兀严2.4. 利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解。 点评利用函数图象的性质求方程的根,这是因为若f(a) ? /0) /(/?)37 C,故选C。 bT 半夜 点评图形是函数的另一种表示方法,有时很难用解析式
7、表示,因为两个变量Z间的 变 化只有一个定性的关系,而很难定量分析。 例2甲、乙两人连续6年对某农村卬鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个 方IM的信息如图所示。 甲鱼池數 甲调杏表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年1力只甲鱼上升到第6年2万只。 乙调杏表明:甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明: (1)笫2年卬鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数; (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由; (3)哪一年的规模最大?说明理由。 解析首先根据图彖可知,两种调查信息都符合一次函数,因此,町以采用待定系数法求 出函数的解析式,下面的问
8、题就容易解决了。 (1)由图可知 , 直线沟 + 经过1)和(6,2) nJ求得 = 0.2,b = 0.8. yiV =0.2(x + 4). 17 同理可得y=4(-X + ). 第2年甲他池的个数为26个,全县出产甲血的总数为 26x1.2 = 31.2 (万只) . 37 C(屮午) 平均 ft 208645 Ti ? ? ? ? ? ? n 0 6-0040 327 - 0 12 3 4 5 6 年 甲 0 12 3 4 5 6 年 乙 降 - 上午 (2)规模缩小,原因是: 第一年出产甲鱼总数30万只, 而笫6年出产甲鱼总数为20万 只。 (3)设第兀年规模最大,即求 17 沟?比
9、=0.2(x + 4) ? 4(-x + ) = -0.8x 2 +3.6%+ 27.2 的最人值 . 3.6 2x(0.8) y甲? y乙=-0.8x4 + 3.6x 2 + 27.2 = 31.2最大. 即第二年规模最大,为31.2万只。 点评本题首先要读懂图,能够由图设岀函数解析式,用待定系数法求出解析式,具次,要会 使用所求得的解析式解决新问题,在实际问题屮,还要注意兀的取值范囤,如木例屮 9 XG N*,当兀=吋,只能取x = 2. 4 2.与儿何图形有关的应用问题 我们还会经常遇到有些应用问题与平而儿何图形有关,在求数学模型时,要注意平而儿何的 有关性质的应用。 例1设计一个水槽
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