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1、x = P2(X2, V2), 则 - - - OA + OB 二OC OB-OA=AB 记OA = (xi, yi), OB = (xi, y2) 则 OA + OB = (xi+x2, yi+y2) AB - OB - OA 二(X2xi, yo-yi) 0A+AB=OB 实数与向量 的乘积 . A污“ - T AB 二入a x eR 记a =(x, y) 贝lj 入a = ( X x, X y) 两个向量的数量积 才 a ? b =| a | I b | T cos “? 记a =(xi, yi), b =(x2, y?) 贝ij a ? b =xix2+yiy2 2.匝要定理、公式 (
2、1)向疑共线定理:如果有一个实数几使b = Xa(a 6),那么忌与方是共线向量;反之,如 果bHaQi 6)是共线向量,那么有且只有一个实数2,使为=加。 (2)平面向量基本定理;如果ei,e2是同一平而内的两个不共线向量,那么对于该平面内 ? 任一向量a,有且只有一对数数入1,入2,满足a二入iei +入2。2。 - * ? 两个向量平行 : 设a = (xi, yi), b=(x2, y2),则abo方=2a xiy2-x2yi=0 两个向量垂直:设a =(xb yi), b 二(X2, y?),贝9 a 丄b o a?b = O oxiXz+yy二0 1 2 线段定比分点公式:设P,P
3、 = XPP9/则OP二 0 + OR 1 + 2 1 + 2 (3) (4) 二、例题讲解 1 平面向量a = (3, ,-4), = (2, x), c = (2, y),已知a /b , d 丄c,求 (2)若| 示+剂=出?,求sin2的值. TT 3TT 3、己知A、B、C 三点的他标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sin a), ), 2 2 (1)|AC|= |BC|,求角Q的值; “、卄 r;. 2sin2 6Z + sin2(7 (2)若AC BC = -l , 求 - 的值。 1 + tan(7 三、巩固练习 1、若ABCD为正方形,E是CD的中点,且AB
4、= a,AD = bf则旋二 2、已知a = (l,2),/? = (x4),且(a + 2b)/(2a b),则兀的值为 A.(- 亍2) U (2, +oo) B. (2, +oo) J ?已知向量OA = (kA2),OB = (4,5),OC = (-Jl,10),且A,B,C 三点共线,则k二 若对n个向量/&,?&, 存在n个不全为零的实数灯,k2,,kn,使得 何同 +込。2 + 心色=成立, 则称向量。 ,如,陽为“线性相关” ?依次规定, 请你求出 一组实数k, k2, k3的值,它能说明4二(1,0), a2=(l,-l),偽=(2,2) “线性相关”:ki, k2,k3的
5、值分别是 _ , _ , _ ? 10已知a = (2,-5),|引=| a |,且a与方互相垂直,则b的坐标是 _ . B. b-a 2 C. a-h 2 D. a-b 2 A. 1 B. 2 D. - T - T 3、AOAB 中,OA 二a , OB 二 - OP = p ,若p=t( + |a| |b| - b ), teR,则点P在( A、ZAOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上D. AB边的中线上 4、已知点C在线段AB的延长线上 , |BC|= |AB|,BC = ACA,则2 等于 H.2BC 1 D. 3 5、设OM=(lf |), 0 = (0,
6、1),则满足条件0W胁命Wl, OW爲爲W1的动点P的变 动范围 ( 图 中阴影部分,含边界)是 ( A. 3 1 B? C. 3 6、已知向量a = (-2,-1), b = (Q,l),若a与b的夹角为钝角 ,则/l的取值范围是 ( ) c.(- 8、。与b的夹角为45 ,若(Ab-a)丄 , 则2二 7、 9、 Ik设平面内的向量OA = (1,7),OB = (5,1),OM = (2,1),点P是直线OM上的一个动点,求 当丙河取最小值吋,丽的朋标及ZAPB的余弦值 12、设向量a = (1 +cos a, sin a), b = (1-cos 0,sin 0), c = (1,0)
7、, a G (0,7r), P e ( 龙,2 ”), 方与的 夹角为q,乙与2的夹角为 &2,且&1一&2=彳,求血纟炉的值。 参考答案 f f “*34 8 ff 3 二、1 a (3,-4),b = (2,x), a b o 二x = , c = (2, ya丄c o y = 2 x3 2 f 8 3 _ f -*- * b - (2,-),c = 0 .?.= 90 (1) m + n =(cos&-sin& + /,cos + sin& m+n= =4 + 2A/2 (cos 0 - sin 0) V2 八 715/2 - (1) v AC = (cosa-3,sin a AC =
8、/(COS6Z-3) 2 +sin2 a = J10-6cosa 得sincr = cos a 2、 .e. | m + n I max二J4 + 2迥 由已知 | 加+斤| = W , 得cos 0 + = ?5 7t TT sin 20 = - cos 2( + ) ),BC = (cos a. sin a-3) 5 :.a = 7i 4 J(cos& - sin + + (cos & +sin 0 尸 sinz W (cos a -3) cos a + sin cr (sin cr - 3) = -1 /. sinct + COSQ = /. 2sina ?coso = 3 9 (2)由
9、AC BC = -1, 、2 sin2 a + sin2a 1 + tan cr 2sin2 a + 2sinacosa = 2sina.cos? = -| .sin a 1 + - cos a 2sin 2 a sin 2a5 所以, - = o 1 + tan cr 9 三、16 B D A D A A 7、. - 8 2 3 PATB = (1-2j)(5 _ 2y) + (7 -刃(1 - y) = 5.b _ 20y +12 = 5(y - 2) 2 -& 故当且仅当y = 2 = 4时,丑月取得最小值8,此时丽 = (4,2),页= (3,5), 丙=(1,_1).于是|PA|= V34,|PB| = V2,PALPS = (-3)x 1 +5x(-1) = -8 12 、 cos ZAPB = PADPB PAPB -8 V34L/2 4A/17 T 9.只要满足-4:2:1即可20. (5, 2)或( ?5, -2) 11、设OP = (Xy). ?点P在直线OM上, 帀与丽共线,而丽 = (2,1), :.x-2y = 0,即兀=2y,有OP = (2幵y).
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