《高一数学指数函数复习》.doc.pdf
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1、第二章 基本初等函数(I) 课标单元知识 1. 理解有理指数幕的含义,通过具体实例了解实数指数幕的意义,掌握幕的运算。理解指 数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的 单调性与特殊点。 2. 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。通过具体实例,直观了解对 数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; 能借助计乳器或计算机価出具体对数函数的图彖,探索并解对数函数的单调性与特殊点。 3.知道指数函数 y = a x
2、与对数函数 y = logrt兀互为反函数0,a h 1) ? 4.理解幕函数的概念,掌握儿种简单的幕函数的图象和性质。 高考命题趋向 在历届高考数学试题中以及各地的模拟试卷中,考查指数函数和对数函数方而的有关内容居 多数,这些试题也同吋考查了指数和对数方而的运算及性质,然而更多地将考查重点放在了指数 函数、对数函数的相关性质以及与其他方而知识点的交汇地方,这一类试题出现在选择题、填空 题时难度属于较易题,而出现在解答题中时一般难度较高,应认真对待。对?于幕函数的考査, 多以选择题、填空题出现,属容易题。 2.1指数函数 2.1.1指数与指数幕的运算、考点聚焦 1.幕指数的扩充 幕指数定义底数
3、的取值范围 正整数 指数 a n = a ? a ? a(n G N*)a w R 零指数 指数 a ) = 1a H 0 且 d w /? 负整数 指数 a n = (/7 G N*) a n a H 0 一 且 a w R 正分数 指数 n _ a m = 仃n,n wN*,、 l 且 加 , n 互 质) m为奇数a w R 加为偶数a0 负分数 指数 丄1 a m n G N*,、 l 且 m 互质 m为奇数 a h 0且 ae R 加为偶数a0 无理数 Q“是一个确定的实数 ( 其中 p为无理数 ) 6Z 0 2.分数指数幕的运算性质 (1)有理数幕的运算性质 有理数幕的运算性质形式
4、上与整数指数幕的运算性质完全一样: a ? a s = ar+s ; = a rs ; (aby = a r b r 。 式中a 0,b 0, r,5 G Q. 对于这三条性质,不要求证明,但须记准、记熟、会用、用活。 二、点击考点 考题 1计算下列各式的值。 (1)(V) 3:( 2) #(-3)4 ; (3)“( 龙一 3)4 ; (4)J(d + /?)? + | b - a | + | - | (a v /? v 0); (5)yjx 2 -2x4-1 - y/x2 + 6x 4-9 (| x _i L A 1 解析(l)原xt=(x2)3-(x2)3 =X -2 -X 2. 3 2
5、_2 _2 _2 X + yX 3 - 3 _2 _2 _2 _2 _2 _2 2 _2 =( 兀一3)2 _丁3)厂 +() 厂3)2 一 ( 才)2+兀刁丁3+()厂3)2 4 2 4 2 4 4 OHB MM MB =X 3 -( 与) 3 + y 3 _ (xy) 3 - y 3 _ 兀 3 (2)原式=(兀 3F+(y3)3 ( 兀 3)( 八) (2) =-2(xy) _3 = 2亟. (3)原式二3)2 _(旷3)2十 3 + 小 +1)-旷1) _ (0)3_(旷 2)3 _( Q?_a-2)( Q4+a-4 + ) (a* + a 4 + 1)(Q -a ) (Q4 +a 4
6、 + )(a - a ) a 2-(a1)2 . = - - =a + a“. a-a 点评在进行帚和根式的化简时,一般是先将根式化成幕的形式,并化小数指数帚为分数 指数帚,尽可能地统一成分数指数幕形式,再利用帚的运算性质进行化简。还要注意平方差、立 方和、立方差公式的应用。 考题 3判断下列命题的真假: (1) 师= agN ;(2) 师=丽“( 加心” *) ; 2 1 (3) a。=1 ;(4)亦二方; (5 ) a m a n = 7“+“( 加,neQ)(6)(“)“= a mn (m, n e Q) (7) ()M = (Z? 09n E Z) ;(8) a 的兀次方次根是蘇(nw
7、 N*) b b n 分析判断命题的真假,主要考查命题成立的条件,因此,要对照冇关的定义和性质, 全 面考虑定义和性质的特点,牢记使用范围,才能作出判断。 解析 (1)中是开方问题,当料为正奇数时,= a;当斤为正偶数时, 滋因此 (1)错误。 卜如 0), (2)中当 a0时止确,当 a0时命题正确,当aSO吋命题不一定成立。例如:(-2)6 ? (-2)6 2 4 2 4 2 4 2 4 = 26.26 =2,而(-2)6*6 = -2 , A (-2)6 (-2)6 (-2)6 + 6 ,本例题中的命题错误。 _ _ (6)只有在。 0 时正确, aWO 时不一定成立。例如: (-2)2
8、 卩=2, (-2)逅=-2,则 两式不相等。 (7)不妨取 a = 0/ = -l,则命题不成立。 (8)不妨収 a = l,n = 2,则 4/?3 + 2ijab + 亦 a (5) 23-670 + 43 + 272. I 1 _2 I 解析 原式 =7x33 -3x33 x2-6x3=+(3x33j 2 _2 | 2 =3 -6x3刁=2x33 -2x3x3 = 2x33 2x33 =0. 3 _1 3 丄1 原式 =l ( IR )4j 4-(3X1)TX3T+)7 2-10X(0.3) 3 J3 3 1 2 丄1 =(尸 x(- + -) 2 -10x0.3 = 3 = 0. 1
9、0 3 3 3 3 3 3 3 _1 1 原式二 (/ ?Cl 2)3 ?( -汨2 ?2)门2 1 5 2 L =(6/ )3 (2 . )2 =(a- 4y =cr2. 2 1 4/?亍 + 2ah + 亦 (2) (3) 4 1 a 3 -Sa3b 十( 1一 2赴) 亦 _ (a - 8/?) _ 2 沪 - a . . 2 -ri- 4- 2cPba亍a 亍 2 2 1 2 2 一 2b亍) (a亍 + 2ab + 4b 亍) 2 l_ 2 4b 亍 + 2ab + 1 1 a 3 a亍 - - ? - - 丄 丄 丄 一2b,一 2b =a 3 ? a 3 ? a 3 = a. (
10、5)23-610-4丁3 + 2血=23-6yl0-4(V2 +1) (4) =23_6丁 6_4运=23_6(2_血) =J11 + = 3 + V2. 点评根式的运算 - ?般都转换成分数指数计算,当式子中含有根式少分数指数幕吋应统 一为分数指数幕进行计算,当根式中是具体数字时,要考虑运用配方计算,如句子(5)。 考题 5 (1)已知2 X + 2 x = a(常数) , 求 8X + 8x的值; 1 y2 A? 2 (2)已x + y = 12,xy = 9.F1.X 2 解析 ( 1) V 4 A + 4 x = (2X)2 + (2x)2 = (2V + 2-A)2 -2? 2 V
11、? 2 x =a2-2 f :.8V + 8“ x = 23x + 2 一“ = (2*)3 + (2A ) 3 = (2 X + 2A) (2 X )2 - 2 X ? 2 x + (2-x)2J =(2X + 2A)(4 A + 4 x 1) = a(a 2-2-l) = a3-3a. 1 I 1 ( 辺*)2 ( 兀+y) 2(小)2 丄 丄/ 丄 丄、 x y ( 尢2+y2)(x2_y2) 又 V x + y = l2,xy = 9 *.* x0 ,且f(x) = a x + a x, ) = ax+ + axy + 。心刃 + a x = /a + 9 + /U-.y) = 8.
12、g(x) ? g(y) = (a x - cr x )(a y - ay) = ax+y - ax+y _ axy + a xy =a x+y + a(x+y) - a x y + a x - y) = f(x+y)-f(x-y) = 4. 由联立 , 解得f(x + y) = 6, fx一 y) = 2 , fx + y) 4- fx - y) = 6 4- 2 = 3. (3)由f(x + y) = a x+y + axy = 6 , f(x _ y) = a x y + ax+y = 2. _ 丄 y 2 一y? 2 将式代入式得兰厂斗 兀2 + y2 12 2x92 -63 V3 3
13、(2) ? + y2 令a x y = t, 贝ia x+y =r =-. t 1 11 11 从而由得f+- = 2?由 / 0,(/2 -f 2)2 =0,/2 =/ 2 = / = l. t 故a x y = 1,这样就有兀 =y?把兀 =y 代入,得a 2x + a 2x = 6. 令a?% = k,则有k +丄=6. 即 2_6P + l = 0, : .k = 3 2y2, k ?严=3 2血= ( “1)2 . 故/ V =忑+1或/* y =迈一. 点评 本题巧妙地求出f(x+y)与.f( 兀- y),再运用方程的思想求解,这种方法在幕 的运算屮常用到。 三、夯实双基 1.下列
14、命题中正确的个数为() 一 3是 81的四次方根;正数的n次方根有两个; 。的门次方根就是丽 ; 佰 =a(a 0). A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4 个 2.把根式 -2*a_by2改写成分数指数幕的形式为() _2 5 A. 2(a ”5B. 2(Q /?)= C. -2(a 5 -b 5) 下列各式伙 -4)2 ;J(-4)2x1 3. 有意义的是 () B. ? 以下各式的化简中正确的是 2 _1 I aa 3沙= D. 一2(CI 2 -b 2) ;站药; ( 各式的/?GN,6/GR ) 中, A. 4. A. C. 2 的-9)亍=“6 C. B. D. 5. 方程
15、3“2_32-X =80的解是 A. B. C. 6. 设尹=4,5, =2, I D. 丄 丄 丄2 丄2 (-Xy 3)(兀尹3)(无2 ? y 3 ) = -y 1 1 _3 5ab 3c 4 _1 1 5 25*2 戾 C4 3 a c 5 2 或一 2 D. 2 或扌 7.计算: 0.027 3 -( 一一)-2 +25643“ + 7 当 x o, 2. y = a x(a 0,a工 1)的图象与性质 图 象 Ova vl a 1 (0,1) 丿 O 厶- - y=l 1 X 性 质 定义域 (-00,+00) 值域 (0,+00) 过定点0 0 时, Ovyvl,当 兀 V 0
16、时,y 1 当兀0 时,y1,当 XV0 时, 0 0,Jia工 1); (2) y = /(/). 无论是哪 一类,要搞清复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题屮,。的取值不定时, 要对 a进行分类讨论。 y = ka x 伙 e R,a OJla H1) 的函数称为指数型函数 4、 对称规律 函数 y 二/ 的图象与 y =犷的图象关于 y 轴对称, y 二川的图象与 y = 一”的图象关于直线% 轴 对称,函数 y = a x 的图象与 y = 的图象关于坐标原点对称。 如果 d = 0, 一- 般地,函数 ) u /( X)的图象与 y 二f(-x)的图象关于 y 轴对称
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