《高等数学教学资料》市营13班高等数学复习资料.docx.pdf
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1、例6计算极限:(1) limXEZzl 2 X Xi 2 lim(l + ) r = e XT8 X ( lim(l + x) v = e XTO 实质:外大内小,内外互倒 _1_ lim(l + 2x)3x A-0 lim(-丄) ” -0 sin x x 设法消去零因子 ( 分子有理化,分母有理化,分子分母同时有理化等方 法) 市营12班高等数学复习资料 高等数学复习要点第一讲极限一基本初等函数的定义 域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象,其中函数图像是重中之重,由函数图像可以轻易 的得到函数的其它要素(P17-20) 二求极限的各种方法 当/(x)为连续函数时,兀o G D, 则有li
2、m /(x) = /(兀0) 例1计算极限lim xarcsinx XT亨 设加,为非负整数,a。HO,/?。工0则 lim + 绚+ + 4“一/+ 勺“ bQx n + b 兀 z + + 仇_ x + a n 0,当zi m n-m S 、, 沽 当n0 兀.YT8 结论:当XTO时, /(?g fM 0 ?对 兀?smx ?tanx ?arcsinx ?arctanx, 1-cosx - 2 未定式的极限(9, 0 罗必达法则 例5计算极限: OO OO OO OO , 例4计算极限:(1) lim(l-sinx) r lim sinxlnx XTO+ lim (sin“ XT0+ 用
3、等价无穷小量代换(切记:被代换的部分和其他部分必须是和乘关 例7计算极限lim sinixtan 2 % XTO X 2(1-COSX ) 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。 例8计算极限:(1)limx 2 sin- X 连续和间断 1?连续的定义 2?间断点的定义和分类闭区 间上连续函数的性质 由参数方程确定的函数的求导 XTO (这里有一些证明题值得注意)。 第二讲微分 导数概念 导数:/? )= lim / (兀。 +山)一弘。)二 / (力7 (勺) Ar XT必 x-x 0 左导数:f:M = lim /( 忑+山) /(“)= lim /( 兀) 一/( 勺) AXTO- A Y
4、Ax I 耐 X-XQ 右导数:= lim /Uo+Ax)-/(xo)_ “ /W-/Uo) + AT()+ =lim 心心 + 兀一尢() 实质:差商的极限。例1 计算极限:(1) h-0 lim / (勺) -/ (兀0- 心) Ar 各种求导法 导数公式表(P94)和四则运算法则(P85) 例2 设/(x) = 4 r+Vx-x4 +51ogdx+sin2 求fx); 例3 设y(x)=丄sin x + arctanx - escx 求广 (x),?厂( ); x 4 复合函数的求导(P90) 例4求下列函数的导数 ? /(x) = arctan 2v f( x) = e tan 隐函数
5、求导(方法:把y当作兀的函数,两边对无求导) 例5求下列隐函数的导数 xy- e x +); = 0 2y = 3x + 51ny 对数求导法(多用于幕指函数和由多因子相乘构成的函数的求导)例6求下列 函数的导数 尸严尸 2x1 (x+l)(3-2x) 重点:由参数方程兀“确定的函数y = /(%)的导数为4 = 迪 y = y/(t) dx 0(/) 例7 设 X = ln(1 + Z) , 求?; y = r-arctanr dx 三高阶导数 例8 设y = 2arctanx ,求y“; 例9 设y = e x + xn , 求y“; 四微分 重点:函数y = f(x)的微分是dy = f
6、x)ch 例10 设y = 3x 2 + e2x , 求dy;例门设y = 2x4- e y ,求dy; 五单调性和极值 重点:由fx)的符号可以判断岀 /(%) 的单调性; 求/( 兀)的极值方法:求出fXx), 令其为零,得到驻点及不可导点, 姑且统称为 可疑点;判断在可疑点两侧附近厂的符号,若左正右负,则取得极大值;若左 负右正,则取得极小值;若同号,则不取得极值。 例12求函数y = x-ln(x+l)的单调区间和极值点。 例13证明:当Ov兀 v 冬时,恒有兀sinx。 2 六最值问题 求函数 / 在区间d,b上的最值Z步骤:求出 / 心) ,令其为零,得到可疑点( 驻点和 不可导点
7、 ) ,并求出函数在这些点处的取值;求出函数在区间端点取值f(d),f(b); 比较函数在可疑点和区间端点上的取值,最人者即为最大值,最小者即为最小值。 例14求下列函数在指定区间上的最值。 (1)/(X) = X 4-2X2+5, -231 尸口,0,4 x + 1 七凹凸性和拐点 重点: (1)凹凸性概念 : 设/(x)在区间(d,b)内连续,若对Vxj,x2G (a,b)( 兀*2) , 广(兀1+兀2)/ (兀) + / (兀2)( f 严 + 兀2)/(坷)+ / (勺) J 2 2 八2丿2 则称 /(兀)在(a,b)内是凹函数(凸函数)。 (用此定义可以证明一些不等式,见下例)。
8、 由厂的符号可以判断出/ (兀)的凹凸性。门兀)为正号贝!J / (兀)是凹函数 , fx )为负号则/(x)是凸函数。 判断 / 的拐点之方法:求岀fx ), 令其为零,得到厂等于0的点和厂不存在的 点;判断在这些点两侧附近厂(兀)的符号,若为异号,则该点是拐点;若同号,则该点 不是拐点。 例15求下列函数的凹凸区间和拐点。 (1)y = X 4 - 2x 3 + 1 (2)x 亠吐i a码+0七 例16证明:当州工兀2时,必有d 2 (d0)。 第三讲积分学 一不定积分与原函数的概念与性质 原函数:若Fx) = f (x), 则称F(Q为/ (尤)的一个原函数。 不定积分:兀无)的全体原函
9、数称为.f(兀)的不定积分,即 j f (x)dx = F(x) + c ,这里Fx) = f (x) 不定积分的性质(P174,共2个) 特别强调:jFx)dx = F (x) + c ; JdF(x) = F(x) + c (切记常数c不可丢) 二定积分的概念与性质 定积分概念 : /(xy/x =艸 /? )? r=l 定积分和不定积分的区别:定积分是和式的极限,计算结果是个常数;不定积分是由一族 函数(被积函数的原函数)构成的集合。 / 在a,b上可积的必要条件: / (力在a,b上有界; 充分条件 :/ (% )在a,b上连续; 定积分的儿何意义:设/(X)0, XG a.b, 则f
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