【《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断分享了.docx.pdf
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1、I线性代数复习提纲】只需1天就能高分过了线代一没听课的孩 纸果断分享了! 徴性代数复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的 计算;IW特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包 括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 救孵的秩、 逆(两种方法) ;解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情 况的讨论;齐欠、非齐次线性方程组的求解(包括唯- ?、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关 组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量; 讨论方 阵能否对角化, 如能,要能写出相
2、似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩 阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出 变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识 一、行列式1.行列式的定义用於2个元素前组成的记号称为n阶行列 式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数 和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算一阶 行列式,二、三阶行列式有对角线法则;m(n=3 )行列式的计算:降 阶法 定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一 个非零元素,其余元素化为0,利用定理
3、展开降阶。慚情况上、下三角形 行列式、 对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值 为0的几种情况:I行列式某行 (列)元素全为0; II行列式某行(列)的对应元素相同;III行 列式 某行(列)的元素对应成比例;IV奇数阶的反对称行列式。 二. 矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩 阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算 的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:a矩阵乘法一般不满足交 换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消 去律、零因式不存在;若A、B为同阶方阵,则 |AB| = |A|*|B|;|kA|
4、=k An|A| 3 ?矩阵的秩定义非零了式的最大 阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论: 矩锄初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数 (每行的第 -?个非零元所在列,从此元开始往下全为0 的矩阵称为行 阶梯阵)。揪 : 利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4.逆矩阵 定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可 逆,B 是A的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质: (AB) A -1= (B A-1 )*(AA-1 ), (A, ) A-1= (AA-1 )1 ; (AB的逆矩 阵,你懂的) (注意顺序)(3)可逆的条件:|A|*0 ; r(A)=
5、n; A-I; (4)逆的求解伴【逖L阵法AA-1= (1/|A|)A*; (A* A的伴随矩 阵 ) 初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A1 )5.用逆矩 阵求 解矩阵方程 :0=B,则X=(A A-1)B ; ?=A, 则X=B(A1) ;恥二C, 则 X=(A A -1)C(B A-1) 三、线性方程组 1.线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)*r(A)无解;Q) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解 ;(3)r(A,b)=r(A)n有无穷多组解 ; 翩地: 对齐次线性方程组 AX=O (l)r(A)=n只有零解;(2) r(A)n有非零解 ; 再特别,若为方阵,(1)
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