【全国百强校】广东省汕头市金山中学高一数学初高中衔接材料三(二次函数的图象和性质).docx.pdf

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1、三?二次函数y=ax-bx+c的图象和性质 二次函数尸日匕 +矿+&H0)中，日决定了二次函数图象的开口大小及方向； 力决定了二次函数图象的左右平移，而且“力正左移，力负右移” ； &决定 了二次 函数图象的上下平移，而且“&正上移，W负下移”。 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y=ax 2+bx+ca 的图象的方法： 由于y = a x 1 + bx + c= x 2 + x) + c = x2 + x + ) + c a a 4a 4a / bb 1 -4ac =恥+亍) +-, 2a 4a 所以，y= ax 2 + bx+ 的图象可以看作是将函数y=ax 2 的图象作左右 平移、

2、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax 2+bx+c0)具有下列性质： (1)当a0时，函数y=ax 2+bx+c 图象开口向 上；顶点坐标为 (- 刍，兰字兰 )，对称轴为直线x=_；当二时，y随着*的增大而 减2a 4a 2a 2a 小；当x-刍时，y随着x的增大而增大；当”=- 刍时，函数取最小4 2a 2a 4ac-b 2 4a (2)当a-1时，y随着/ 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点水一1, 4),与x轴交于点 (込空,0)和 墜空,0),与F轴的交点为(0, 1),过这五点画出图象 (如图2-5所示)。 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接

3、 选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。 函数y=ax 2+bx+c 图象作图要领： 确定开口方向：由二次项系数a决定。 确定对称轴：对称轴方程为x = 2a 确定图象与x轴的交点情况，若 () 则与x轴有两个交点，可由方程/ + bx+ c=O求出若二0则与x轴有一个交点，可由方程+bx+ c=O求出 若 () 则与x轴有无交点。 确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出y二c,所以交点坐标为(0, c) 由以上各要素出草图。 练习：作出以下二次函数的草图：(1) ，=兀2_兀_6 (2)尸/+2无+ 1 (3) 丿=一/ + 1 例2.把二次函数y=x 2+bx+c 的图

4、像向上平移2个单位，再向左平移4 个单位， 得到函数 =“的图像，求方，c的值。 解法一：y=x 2+bx+c=(x +)2+c-, 把它的图像向上平移2个单位， 2 4 再向左平移4个单位，得到 )=(“ 纟+ 4)? + c-厶+ 2的图像，也就是函数的2 4 图像，所以， -4 = 0, () 时，抛物线y=ax 2 +bx+c(aQ) 与x轴有两个交点； 反过来，若抛物线y=ax +bx+c(aO)与x轴有两个交点，则 0也成 立。 (2)当 =() 时，抛物线y= ax 2 + bx+ c(aO) 与x轴有一个交点 ( 抛物 线的顶 点) ； 反过来，若抛物线y=ax 2 +bx+c

5、(aQ) 与x轴有一个交点，则 =0也成 立。 (3)当 () 时，抛物线y=ax 2 +bx+c(aQ) 与轴没有交点； 反过来，若抛物线y=ax 1 +&+cHO) 与x轴没有交点，则 V0也成立。 于是，若抛物线尸臼兀2+b%+cHO)与X轴有两个交点水为，0), BX2,0),则 /,屁是方程ax 2 +bx+c= 0 的两根，所以x + x 2= xx2= y即色 a a ci c = (& + &)， =XIA2O a b c 所以，y=ax 2 + bx+ c= a(x2 - ￥ x + ) a_x2 + x+ x xx-A a a 石)(XX2) o 由上面的推导过程可以得到下

6、面结论： 若抛物线y=ax + bx+c(a0)与x轴交于力 ( 石，0), 0)两点 , 则其函数关系式可以表示为y=axx) (x乂)( 日H0)。 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 交点式：y=Q(x幻(x卫)( 日工0),其中曷，y是二次函数图象与x轴 交点的横坐标。 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般 式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。 3. 例1己知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=z+l上，并且图彖经过 点(3, -1),求二次函数的解析式。 解：?二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ?顶点

7、的纵坐标为2。 乂顶点在直线y=x+l, 所以，2 = r+l, .x=l o ?顶点坐标是(1, 2)。 设该二次函数的解析式为y = a(x_2)2+l(dvO), ?二次函数的图像经过点(3, -1), ?-1 = (3-2)2 + 1,解得a=_2。 ?：二次函数解析式为y = -2(x-2) 2 + ,即y2x +8%7O 例2已知二次函数的图象过点( 一3, 0), (1, 0),且顶点到x轴的距离等于2,求此 二次函数的表达式。 解法一： ?二次函数的图象过点( 一3, 0), (1, 0), ?可设二次函数为y=$(x+3) (x1)( 臼H0), 小_12/ _4/2 展开，

8、得：尸曰/+2站_3日，顶点的纵坐标为a 我=-牝, 4a 由于二次函数图彖的顶点到x轴的距离2,?| 一4胡=2,即日=丄。 2 所以，二次函数的表达式为y=%2 +%-,或y= x2 -x + - o 2 2 2 2 分析二：由于二次函数的图象过点(一3, 0), (1, 0),所以，对称轴为直线 1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将 二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(一3, 0),或(1, 0),就可以 求得函数的表达式。 解法二： ?二次函数的图象过点( 一3, 0), (1, 0), ?对称轴为直线x= l。 又顶点到 / 轴的

9、距离为2, ?顶点的纵坐标为2,或一2。 于是可设二次函数为y=$(x+l)2 + 2,或尸臼(x+l)22, 由于函数图象过点(1, 0), .?0 =日(1 + 1)+2,或0 =日(1 + 1)22。 ? . 3=, 夏戈3= o 2 2 所以，所求的二次函数为y =二匕+1)2 + 2,或y =：(x+l)2 2。 2 2 例3已知二次函数的图象过点( 一1, -22), (0, 一8), (2, 8),求此二次函数的表达 式。 解：设二次函数为y = ax2 4-bx+c (aHO)。 由函数图彖过点 (一1, 22), (0, 8), (2, 8), a? b + c = - 22

10、 可得 c = -8 4a + 2b + c = 8 故所求二次函数为2#+12/8。 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一 般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ a = -2 , 解得 b = 12 c = -8 练习1. 选择题：(1)函数y= x-x 1图象与x轴的交点个数是 ( ) (A) 0个(B) 1个(C) 2个(D)无法确定 (2)函数y=| (JT+1)2+ 2的顶点坐标是 ( ) (A) (1, 2) (B) (1, -2) (C) (-1, 2) (D) (-1, 2) 2. 填空： (1)已知二次函数的图彖经过与/ 轴交于点 (一1, 0)和(2, 0),则该二次 函数的解析式可设为=日 _ ( 日HO) o (2)二次函数y=-2y/3x+l的函数图象与x轴两交点之间的距离 为 _ O 3?据下列条件，求二次函数解析式。(1)图象经过点(1, -2), (0, -3), (T, -6)； (2)当吋，函数有最小值5,且经过点(1, 11)； (3)函数图象与x轴交于两点(1迈，0)和(1+2, 0),并与y轴交于(0, 2) o