【初三数学】【经典例题剖析】一次函数(共21页).doc.pdf
《【初三数学】【经典例题剖析】一次函数(共21页).doc.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【初三数学】【经典例题剖析】一次函数(共21页).doc.pdf(24页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 X, y 间的关系式可以表示成y=kx+b (k, b 为常数 ,kHO) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数( x 为口变量),特别地,当b 二 0 时,称 y 是 x 的正比例函数 . 例如:y=2x+3, y=-x+2, 尸丄 x 等都是一次函数 , 尸丄 x, 2 2 y-x 都是正比例函数 . 【说明】(1) 一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题 中要根据函数的实际意义来确定. (2)一次函数 y=kx+b (k, b 为常数 ,bHO ) 中的“一次”和一元一次方 程、一元一次不等式小的“一次”意义相同,即白变量x
2、 的次数为 1, 一 次项 系数 k 必须是不为零的常数, b 可为任意常数 . (3)当 b 二 0, kHO 时,y= kx仍是一次函数 . (4)当 b 二 0, k二 0 时,它不是一次函数 . 知识点 2 函数的图象 把一个函数的白变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在 肓介坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图彖. 画 函数图彖一般分为三步:列表、描点、连线. 知识点 3次函数的图彖 山于一次函数 y 二 kx+b (k, b 为常数, kHO )的图象是一条直线,所以 次函数 y 二 kx+b 的图象也称为直线y=kx+b. 由于两点确定一条
3、直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关 系式的两点,再连成直线即町,一般选取两个特殊点:直线与y 轴的交点 (0, b ), 直线与 x 轴的交点 0). 但也不必一淀选取这两个特殊点. k 画正比例函数尸kx 的图象时,只要描出点(0, 0 ), (1, k )即可 . 知识点 4 一次函数 y 二 kx+b (k, b为常数, kHO )的性质 (1)k 的正负决定直线的倾斜方向; k0 时,y 的值随 x 值的增大 | 何增大; k0时,肓线与 y 轴交于正半轴上; 当 b0 吋,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (3)当 k0, b0 时, 直线经过第一、二
4、k0, k0 时, b0 时, 直线经过笫一、 直线经过第一、 肓线经过第二、 三、四 二、四 三、四 (1) III于正比例函数 y 二 kx (kHO)中只有一个待定系数k, 故只需一 先设待求函数关系式 ( 其中 含有未知常数系数 ) ,再根据条件列出方程 ( 或方 程组) ,求出 未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法. 其屮未 知系数也叫待定系数 ?例如:函数y 二 kx+b 中,k, b就是待定系数 . 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 (1)设函数表达式为 y 二 kx+b; (2)将已知点的处标代入函数表达式,解方程(组); (3)求出 k 与 b
5、 的值,得到函数表达式 . 例如:已知一次函数的图象经过点(2, 1 )和( -1, -3)求此一次函数的 关系式 . 解:设一次函数的关系式为y = kx+b (kHO ), 由题意可知, Jl = 2 +b, -3 = -k+b, 解0时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b 二 0 吋,总线经过原点; 当 b0 时,直线与 x 轴正半轴相交; k 当 b=o 吋,即 -2=0 时,直线经过原点; k 当 k, b同号时, BP- 0, b0 时,图象经过第一、二、三象限;当 k0, b 二 0 时,图 象经过第一、三象限; 当 b0, bVO 时,图彖经过第一、三、四彖限;当 k0 时,
6、图彖经过 第一、二、四彖限;当 k0时, 把直线 y=kx 向上平移 b 个单位, 可得直线 y 二 kx+b; 当 b yi 与 y2 相交于 y 轴上同一点 (0, bi)或(0, b 2) ; 也=b2 I 2 oy占 y?平行; bl H b2 Ikt 4 u yi 厶/ y? 重合 . IA = b? 典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间 的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件. 例 1 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y= x ;(2) v=- : (3) y=-3-5x; 2 x (4)y 二-5x1 (
7、5) y=6x (6) y=x(x-4)-x 2. 2 分析木题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解. 解:(1) (3) (5) (6)是一次函数, (1) (6)是正比例函数 . 例 2 当 ni 为何值时 , 函数 y=- (m-2) x -3 + (m-4) 是一次函数 ? 分析 某函数是一次函数,除应符合 y二 kx+b外, 还要注意条件 kHO. 解: ? ?函数y 二(m-2) x宀+( m-4) 是一次函数 , ?当m二-2 时,函数 y 二(m-2) x“ 心+ (m-4) 是一次函数 . 小结 某函数是一次函数应满足的条件是:一次项( 或口变量 )的指数 为 1, 系
8、数不为 0. 而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为 0. 基础知识应用题 木节基础知识的应用主要包括:(1) 会确定函数关系式及求函数值;(2) 会 画一次函数 ( 正比例函数 ) 图象及根据图象收集相关的信息;(3) 利用一 次函数的 图象和性质解决实际问题;(4) 利用待定系数法求函数的表达式. 例 3 一根弹簧长 15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg, 并每挂 lkg的物 体,弹簧就伸长0. 5cm,写出挂上物体后 , 弹簧的长度 y (cm)与 所挂物体的质量 x(kg) 之间的函数关系式,写出自变量x 的取值范围,并 判断 y 是否是 x 的一? 次函数 . 分
9、析 (1) 弹簧每挂 lkg 的物体后,伸长0. 5cm, 则挂 xkg 的物体 后, 弹 簧的长度 y 为(15+0. 5x) cm,即 y =15*0. 5x. (2)自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值,即 OWx W18. (3)由 y 二 15+0. 5x 可知,y 是 x 的一次函数 . 解:(1) y二 15+0. 5x. (2)自变量 x 的取值范围是 0WxW18. (3)y 是 x 的一次函数 . 学牛做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米, 火车从乌鲁木齐出发, 其平均速度为 58 千米/ 时,则火车离库尔勒的距离s ( 千米) 与行 驶时间 t (
10、 时) 之间的函数关系式是 _ ? 老师评 - 评 研究本题可采用线段图示法,如图11-19 所示. 火车/ 小时位 L5 脱千米 $ j 卜600千米 - 刁 乌鲁木齐库尔勒 图 11? 19 -(m - 2) 0, m 二一 2. 火午从乌鲁木齐出发, t 小时所走路程为 58t 千米,此吋,距离库尔勒的 距离为 s 千米, 故有 58t+s=600, 所以, s=600-58t. 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M (C)是时间t ( 时) 的函 数: M=t 2-5t+100 ( 其中 t=0 表示中午 12 时,t=l 表示下午 1 时) ,则上午 10 时此物 体
11、的温度为 _ C. 分析本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t 的 具 体值. 从题屮可以知道, “0 表示中午 12 时,“ 1 表示下午 1 时,则上午 10 时 应表示成 t=-2,当 t二-2 时,M= (-2) -5X (-2) +100=102 ( C). 答案:102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例 , 且 x=2 时,y=7. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x=4 时, 求 y 的值; (3)当 y 二 4 时,求 x 的值 . 分析由 y-3 与 x 成正比例,贝 IJ 可设 y-3=kx, 由 x=2, y=7, 可求出 k, 则
12、 可以写出关系式 . 解:(1) 由于 y-3 与 x 成正比例,所以设y-3=kx. 把 x 二 2, y=7 代入 y-3=kx 中,得 7-3 = 2k, .*.k = 2. Ay与 x 之间的函数关系式为y-3=2x, 即 y=2x+3. (2)当 x=4 时,y 二 2X4+3二 11. (3)当 y=4 时,4=2x+3, Ax=-. 2 学生做一做已知y 与 x+1成止比例,当 x=5 时,y 二 12, 则 y 关于 x 的 函 数关系式是 _ ? 老师评一评由 y 与 x+1 成正比例,可设 y 与 x 的函数关系式为 y 二 k (x+1). 再把 x=5, y 二 12
13、代入,求出 k 的值,即可得出 y 关于 x 的函数关系式 . 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k (x+1). ?.? 当 x=5 时,y=12, A 12= (5+1) k,?k 二 2. ?y 关于 x 的函数关系式为 y 二 2x+2. 【注意】 y 与 x+1 成正比例,表示 y 二 k(x+l),不要误认为 y 二 kx+1. 例 6 若正比例函数 y 二(l-2m) x 的图象经过点 A (xi, yi) 和点 B (x 2, y2), 当 x】y2 ,则 m的取值范围是 () A. m 0 C.】11M 2 分析本题考查正比例函数的图象和性质, 因为当 Xly2, 说明
14、y 随 x 的增人而减小,所以1-加 丄,故正确答案为D项. 2 学牛做一做某校办工厂现在的年产值是15 万元, 计划今后每年增加2 万元. (1)写出年产值 y (万元)与年数x (年)之间的函数关系式; (2)画出函数的图象 ; (3)求 5 年后的产值 . 老师评一评( 1)年产值 y (万元)与年数x (年)之间的函数关系式为 y=15+2x. (2)旳函数图象时要特别注意到该函数的白变量取值范围为xNO,因 此,函数 y=15+2x的图象应为条射线 . 画函数 y 二 12+5x 的 图象如图 11 21 所示. (3)当 x 二 5 时,y= 15+2X5=25 (万元) . ?5
15、 年后的产值是 25万元. 例 7 已知一次函数 y 二 kx+b 的图象如图 11-22 所示,求函数表达式 . 分 析从图象上可以看出,它与x 轴交于点( -1, 0 ), 与 y 轴交于 点(0, -3 ), 代入关系式中 , 求出 k 为即可 . 解:由图象可知,图象经过点(-1, 0 )和( 0, -3 )两点, 代入到 y=kx+b 中,得 0二_ + 伏 . 卩二_3, 一3二0 + 伉3. ?此函数的表达式为y=-3x-3. 例 8 求图象经过点( 2, -1 ), 且与直线 y 二 2x+l 平行的一次函数的表达 式. 分析图象与 y 二 2x+l 平行的函数的表达式的一次项
16、系数为2, 则可 设 此表达式为 y=2x+b,再将点( 2, -1 )代入,求出 b 即可. 解:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b, ?图象经过点(2, -1), ?-1 二 2X2+b. b=-5, y 图1? 22 ?所求一次函数的表达式为y=2x-5. 综合应用题 本节知识的综合应用包括:(1) 与方程知识的综合应用;(2) 与不等式 知识 的综合应用; (3) 与实际生活相联系,通过函数解决生活屮的实际问题. 例 8 已知 y+a 与 x+b (a, b为是常数 ) 成正比例 . (1)y 是 x 的一次函数吗?请说明理由; (2)在什么条件下, y 是 x 的正比例函数? 分
17、析判断某函数是一次函数,只要符合 y 二 kx+b (k, b 中为常数, 且 kHO)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合y 二 kx(k 为常数,且 k H0) 即 可. 解:(1) y是 x 的一次函数 . Vy+a与 x+b 是正比例函数, ?设 y+a 二 k(x+b) (k 为常数 , 且 kHO) 整理得 y 二 kx+ (kb-a). TkHO, k, a, b 为常数 , ?y=kx+(kb-a) 是一次函数 . (2) 当 kba=O,即 a 二 kb 时, y 是 x 的正比例函数 . 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务:“全球通”使用者先交50 元月 租费,然后
18、每通话1 分,再付电话费0. 4 元;“神州行”使用者不交月租费, 每通话 1 分,付话费 0. 6 元( 均指市內通话 ) 若 1 个月内通话 x 分, 两种通讯方 式的费用分别为刃元和y2 元. (1)写出 y】,y2 与 x 之间的关系; (2)一个月内通话多少分吋,两种通讯方式的费用相同? (3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较仑算? 分析这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费 方式仔细分析、比较、计算, 方可得出正确结论 . 解:(1) y尸 50+0. 4x (其中 x20, 且 x 是整数 ) y2=0. 6x (其中 x20, 且 x 是整
19、数 ) (2) ?两种通讯费用相同, .*.yi=y2, 即 50+0. 4x=0 ? 6x. /.x=250. ?一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同. (3)当 y.=200 时,有 200 二 50+0. 4x, ?x 二 375 (分)? ?“全球通”可通话375分. 当 y 2=200 时, 有 200=0. 6x, A x=333 - (分) . 3 ?神州行”可通话叫分. V 375 333-, 3 ?选择“全球通”较合算. 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例,且 x=-2 时,y 二 0. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)画出函数的图象; (3)
20、观察图彖,当 x 取何值时, y$0? (4)若点(m, 6)在该函数的图彖上 , 求 m的值; (5)设点 P在 y 轴负半轴上,(2)中 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B两点, K SAABP=4, 求 P点的坐标 . 分析由已知 y+2 与 X成正比例, 可设 y+2二 kx, 把 x=-2, y=0代入, 可求出 k, 数 关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点5, 6 )在该函数的图象上,把 x 二 m, y 二 6 代入即可求出 m的值. 解:( 1) Ty+2 与 x 成正比例 , ?设y+2 二 kx (k 是常数 , 且 kHO ) ?当 x=-2 吋,y=0
21、. ?0+2 = k ?( 2), ?k=1. ?函数关系式为x+2 二-x, 即 y=-x2. (2)列表; X 0 -2 y -2 0 描点、连线,图象如图1123 所刀匚 (3)由函数图象可知,当xW-2时,y$0. ?当 xW-2 时,yMO. (4);?点( m, 6)在该函数的图象上, /? 6 =m_2, 这样即可得到 y 与 x 之间的函 .?.m= -8. (5)函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A, B两点, A A (-2, 0), B (0, -2). *?* SAABP = ?AP | ? 10A | =4 f 2 ?点P与点 B的距离为 4. 又 TB点
22、坐标为 (0, -2),且 P在 y 轴负半轴上, ?P点坐标为 (0, -6). 例 11 已知一次函数 y 二(3-k) x-2k 2+18. (1)k 为何值时,它的图象经过原点? (2)k 为何值时,它的图彖经过点(0, -2) ? (3)k 为何值时,它的图彖平行于直线y=-x? (4)k 为何值吋, y 随 x 的增大而减小? 分析两数图象经过某点,说明该点处标适合方程;图象与y 轴的交 点 在 y 轴上方,说明常数项b0;两函数图象平行,说明一次项系数相等; y随 x 的增大而减小,说明一次项系数小于0. 解:(1) 图彖经过原点,则它是正比例函数. ?当k=-3 时,它的图象经
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初三数学 经典例题剖析 初三 数学 经典 例题 剖析 一次 函数 21 doc
链接地址:https://www.31doc.com/p-5623448.html