【初三数学】二次函数题集及解析.doc.pdf
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1、一、二次函数与线段的长度 例1如图,已知抛物线与兀轴交于点A(-2,0), 3(4,0),与y轴交于点C(0,8). (1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标; (2)设直线CQ交兀轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直 线CD 的距离等于点P 到原点O的距离?如果存在,求出点P的处标; 【答案】 ?抛物线的解析式为y =-亍+2兀+ 8 检测题1已知人、血、入是抛物线y=占兀彳上的三点, 它们相应的横坐标为连续偶数(斤一2)、 刃、(斤 + 2)(其中斤2),直线A2B2. 4耳分別垂直兀轴于点3、B2. 直线4禺交直线A4于点c. (1)当刃=4时,如图I,求线段C%的
2、长; (2)如图2,若将抛物线y = x2改为抛物线y = x2+c (其中C是常数,且c0),其他 条件不 变,求线段CA.的长; (3)若将抛物线y = -x 2t 改为抛物线y = o?+c (其中c是常数,一几。0),其他条 4 件不变,试猜想线段C4的长,并直接写出结果 . (结杲用0、c表示) . () 二次函数的综合 ?顶点D的坐标为(1,9). ?点P处标为(2, 873-10). 【答案】(1) C4=5-4 = l. (2) CA2 = rr + 4 + c-(n2 +c) = 4 (3)CA0). 学法提炼 1、 专题特点:二次函数中有关线段的关系的问题,例如相等关系,倍
3、数关系等. 2、 解题方法:将所要表示的线段用一个未知的参量表示,最后建立出关于参量的方程. 3、 注意事项:有的题目还可以通过特殊的数量关系得到特殊的位宜关系,从而使解题更简 二、二次函数与四边形的综合 例1如图,在平面宜角朋标系屮,二次函数y = ax 2+bx + c 的图像经过A(3,0)、B(l,0)、 C(0,3)三点,设该二次函数图像的顶点为G. (1)求这个二次函数的解析式及其图像的顶点G的处标; (2)求tan ZACG图像上有一点P, x轴上有点E,问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四 边形?若存在,求出点P的处标;若不存存,请说明理山. () 【答案】(1)二次函数的
4、解析式为y = F_4x + 3顶点G的坐标是(2,-1) (2) tanZACG = =- AC 3 点P的坐标为(2 V2,1)? 检测题1已知一个二次函数的图像经过A(0,3)、B(4,3)、C(l,0)三点(如图) . (1)求这个二次函数的解析式; (2)求tan ABAC的值; (3)若点D在兀轴上,点E在(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点A、C、D、 E为顶点的四边形是平行四边形,求点D、E的坐标 . ()【答案】(1)所求 的二次两数的解析式为y = x 2-4x + 3. (2) tan ABAC = tan ZACO = 3 (3)点 、E 的朋标是0 (5, 0),
5、 E (4, 3)或Q 心,0), E (4, 3). (2015年虹口二模 )24、如图,平而直角坐标系xOy中,抛物线y = ax 2+bx + c 点4(一1,0)、 B(3,0)、C(2,3)三点 , 且与y 轴交于点? (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴; (2)分别联结AD. DC、CB,直线y = 4x-m与线段DC交于点E,当此直线将四边 形ABCD的面积平分时,求加的值. ( 3)设点F为抛物线对称轴上的一点,当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时, 请直接写出所有满足条件的点F的处标 . -4 -3 -2 -1 O -1 ?所求抛物线的表达式为y = -F
6、+2兀+ 3,其对称轴是直线x = . (2)由题意,得:D (0, 3), 又可得:DC/AB, 4B = 4,DC = 2, ?直线y = 4x + m与线段DC交于点 , 且将四边形ABCD的面积平分 , ?直 线y = 4x-m与边AB相交,该交点记为点G , ?点E的纵坐标是3,点G的纵坐标是0, 3 m m ?可求得E( ,3)、G( - ,0) 4 4 由题心、,得:S四边形仙CD = 2S|jq边形人诚, ?可得:AB + CD = 2(AG + ED) ( 第24题图) 【参考答案】 解:(1)?抛物线y =血2+加+(过点A(_l,0)、B(3,0). C(2,3)三点,
7、a-b + c = 0, ? ?. v 9a + 3Z? + c = 0,解得: 4d + 2b + c = 3? a 1, b = 2, c = 3. -2 -3 -4 A 宀加、3_m、 ?4 + 2二2(+ 1 + - ) 4 4 解得:m = - . 2 (3)点F的坐标为(1,-2)或(1,-6)或(1,3) (2015年徐汇二模)24.如图,在平面直角他标系中,0为坐标原点,开口向上的抛物线与x轴交于 点A (-1, 0)和点B( 3, 0), D为抛物线的顶点,直线AC与抛物线交于点C( 5, 6). (1)求抛物线的解析式; (2)点E在x轴上,且AEC和AAED相似,求点E的
8、坐标; (3)若在角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形,且面积为16,试求点F的 坐 标. 【参考答案】 解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3) 将点C (5, 6)代入,得a = - 2 1 3 ?抛物线解析式为y = -x 2-x- 22 13 1 (2) T抛物线解析式为y 二一x 2 x = (x I) 2 2 22 2 ?: 抛物线顶点D的处标为( 1, -2) 作CM丄x轴于点“,作丄x轴于点 N ?点C (5, 6), ?点M的坐标为(5, 0) /.CM=6, AM=5+1=6, ? CM=AM ? . ? CM丄兀轴,Z CMA=90 0 在ACM 中,
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