【备战高考_数学】高三数学复习提升专题:线性规划中的参数问题(解析版).doc.pdf
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1、问题二线性规划中的参数问题 简单的线性规划有很强的实用性,线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的确定 问题;(2)区域面积问题;(3)最值问题;(4)逆向求参数问题 . 而逆向求参数问题,是 线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值. 若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域 内的点 ( 即最优解 ) ,将点的坐标代入目标函数求得参数的值. 1.目标函数中兀的系数为参数 x+y-20 则实数a的值为 _ . 【答案】2或-1 【解析】如虱画出线性约束条件所表示的可行域,坐出直线严做,因此要使线性目标函数
2、取得最大值 的最优解不唯一,直线y =的斜率,要与直线2x-p + 2 = 0或x+p-2 =0的斜率相等 ?. = 2或-1? 【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系?通过本题应进一步明确两点: (1)线性规划问题可能没有最优解;(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条 类型一标函数中含参数 边界平行时 , 线性规划问题可以有无数个最优解. x-yQ 【牛刀小试】已知满足约束条件r+)V2,若z = ox+y的最大值为4 ,则 y0 a = _ . 【答案】2 【解析】将化为作出可行域(如團所示力当心0时,当直线v = -ar+z向右 下方平移时,直线v = -ar+z
3、 在p轴上的截距z减少,当直线y = -+z过原点时,=0 ( 舍力当 。 0时,当直线, =-妙+z向右上方平 移时,直线y = -ax+z在v轴上的截距z増犬,若-11 时,贝U当直线 =d+z过点.4(2=0)日寸,z生=2。= 4, 解得? 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是:先画出可行域,再结合目标函数的几何意义进行解决, 往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度, 如本题中,不 仅要讨论斜率 -a的符号,还要讨论斜率-a与边界直线斜率 -1的大小关系 . 2?目标函数中y 的系数为参数 2x + 3y-l 1 0)的最大 x-y + 20, 值为1 /贝!k/
4、= _ ? 【答案门? 【解析】约束条件所满足的区域如图所示,目标函数过B ( 4 , 1 )点是取得最大值, ? 1 = 4 6zx 1 ;.a = 3 ? 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值. 标函数中匕 )的系数均含参数 x2 【例3】设兀,y满足约束条件2兀一)71,若目标函数z = d + 0y(GO“O)的最小值 yx 为2 ,则db的最大值为_ 【答案】1 ? 【解析】不等式组表示的平面区域如團阴影部分,易求得X2:2):5(2:3),要目标函数z=axby(a0zb0)的最 小值为2,二2。+ 2占=2 ,即a=b = l ?当且仅当 2 4 Q
5、= b = ;等号成立 . 故处的最犬值为A . 2 4 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用. 应明确若可行域是封闭的多边 形,最优解一般在多边形的顶点处取得. 应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等” 缺一不可 . 【牛刀小试】2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设兀,y满足约束条件 3x - y - 6 0,b0)的最大值为12 ,贝!J: 的最小值a b x0,y0 为 _ ? 25 【答案】手 6 【解析】作出x,y满足约束条件下平面区域,如图所示,由图知当目标函数 z = or + /?y(d0,0)经过点A(4,6)取得最大值12 , 即4 + 6b
6、= 12 , 亦即 C “ A ccri 2 3 .2 3、2c + 3b 13 b a13 lb a 25 土口仲 2Q + 3/?= 6,所以一 + 丁 = ( 一 + 丁) - = - + (- + -) + 2 , 当且仅 a b a b 6 6 a b 6 a 6 【评注】运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜 率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值,在哪个端点, 目标函数取得最小值;已知 似+彷二加(a0,b0,m0)求 + C(c0,d0)的最 小值,通常转化为I = _ (I) ( ax + hy),展开后用基本
7、. x y m x y x+y 0,表示的平面区域为D .若圆C:( 兀+1尸+? + 1)2 =兀 x-l0 (r 0)不经过区域D上的点 , 则r的取值范围是 _ . 【答案】(0,2屈卜(2用,+0) 【解析】不等式对应的区域为、应. 圆心为(7-1),区域中A到圆心的距离最小,B到圆心的距离最 Y-1 丫= 1 大八?要使圆不经过区域D,则有0 ?由得厂 1 .y = 少=】 ”= 得即5(1,3)?卜= |EC| = 2衣?0VY2JI或厂2少,即尸的取值范围是 ?3 (0S22)U(25S+OD). 【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题?对于目标函
8、数为平方型: z = (x-tz) 2+(y-Z?)2,可看成可行域内的点 P(x,y)与定点Q仏b)两点 连线的距离的平方 , 即|PQ =( x-a) 2(y-b)2 ; 也可看成是以 Q仏b)为圆心 , 血为 半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题? 【牛刀小试】2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组 标函数为非线性函数且含有参数 ,即班1,1) ?宙 0 = -x+4 |+2丫一19事0, “ x Y十8 $ 0 p 斗 0,所表示的平面区域为M , 使函数y二aO,a H 1)的图象过区域M的 a的取值范围是 _ . 【答案】2 , 9 【解析】平面区域
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