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1、三角函数的图象与性质(解析版) 【基础知识整合】 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 Tl 3TI 正弦函数y=sin x, xe0,2n啲图象中,五个关键点是:(0,0) , , 1), (n , 0) , (y #? 1) , (2TT , 0). Tl 3n 余弦函数y= cos %G0z2n啲图象中,五个关键点是:(0,1) , , 0) z (TT ,?1),(, 0) , (2TT , 1)? 2 .正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数y=sin xy- cos xy=ta n x 图象 2 儿 x y / x yPui orTT Illa 定义域 RR TT A|X
2、GR且卅亍 + Xm , kwZ 值域 ? 1,1 ? 1.1R 单调性 TT TT 在三+2加+2Xr TT伙GZ)上递增; n 3n 在q+2如,七2k Tl伙WZ)上递减 在2ATT , H + 2ATT( WZ)上递减 在-TT + 2如: ,2k TI伙WZ)上递增; TIn i (-+Xm z+k Ti)(?WZ)上递增 最值 TT 当*二亍+2加伙GZ) 时 / J4nax = 1 ;当X 二 当x=2WeZ)时, Wax = 1 ; 当x二11 + 21 伙GZ) -p2WeZ)时, Jmin = “ 1 时,J4nin = -1 X 奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称中心( 如,
3、0)伙WZ) TT g+加,0)伙WZ) 佔I (y, o)伙wz) 对称轴方 程 n x巧 + Xm(XreZ) x= Xnrr(XreZ) 周期2n2TITU 类型一三角函数的定义域和值域 【典例1】函数p=lg(sin力+ QJCOS x-扌的定义域为_ sin x0 f 【解析】 要使函数有意义必须有 COS X ? I 2 sin x0 即?:J cos x? . 2 f27T U ?函数的定义域为; 詞2比兀 o :y 09 0) , T 丨 釦 “TT “ TT2 TT TT /(x) = Asin(2x+(p),而当x = B寸,2x + = + Z ,解得卩 =上 + 2上芯
4、上EZ , 3 3 2 6 所以/(x)=Asin; 2x+f ;(J0),贝U当2x + ?二匚+ 2乩 s 即x = f + TeZa寸,/(x)取得 6 ! 6 2 6 最犬值 ?要比较/(2):/(-2):/(0)的大小,只需判断2:-2:0与最近的最高点处对称轴的距离犬小, 距离越大,值越小,易知02与匚比较近,-2与- 学比较近,所以,当上=0时,x = f ,此时 6 6 6 10 | 亠2 , 12 士7,当丘 =1时,兀 =字,止匕时 | 一2 (字)|* , 6 6 6 6 所以/(2) 0,30)的图象与直线y二b(0 sin;CO 【典例6】【2014高考北京】设函数f
5、 (x) = Asn (cox + (p)(人血炉是常数,40,Q0 ). TT 7T TT2兀7T 若/(x)在区间三 , 上具有单调性,且 / () = / () = / ( ), 则/ (兀)的最小正周期 6 2 2 3 6 【答案】兀 【解析】试题分析:由/ (兀)在区间,勺上具有单调性,且/ () = _/ (% 知,函数 / 6 2 2 6 TT 的对称中心为(,0), 由/ (彳) =/ (年)知函数/(X)的对称轴为直线 “+(彳+¥) =算,设函数 / 的最 Yr J 乙/ 乙/ J 1 小正周期为丁, 1 yr TT7i T 所以,即T-,所以 - = 4,解得Tw. 2
6、2 6 3 12 3 4 考点:函数 / (尢) =Asin(0x + 0)的对称性、周期性,容易题. 【思路点拨】本题考查三角函数图象与性质,本题属于中等难度选填题,有关三角函数图象与性质及三角函数图像变 换问题常在高考题目中出现,但本题重点考查函数图像的对称轴和 =1,所以0? + = 0 = 4 2 2 对称中心以及对称轴和对称中心与周期性的关系,这样的考法并不多见,事实上,函数图象有两轴、两心、或一轴一心 都会联想到函数的周期性,备考模拟题经常见到,但高考题偶尔遇到,不是很多 . 【变式训练】已知函数心)=2COS(3X+ (p) + Z?对任意实数X有 心+中)=A?A)成立可 )
7、=1,则实数b的值为 _ . 【思维点拨】由心 +二心力可得函数的对称轴应用函数在对称轴处的性质求解即可. 【解析】 由f(x+ ¥)= f( x)可知函数r(x)=2cos ( 3 ”+切+ E关于屋戋对称,又函数f(x)在对称轴处取得 4 o 最值,故 2+3=1,?=-1或方=3? 【典例刀【2014高考重庆】 且图像上相邻两个最高点的距离为兀. (I)求0和0的值 ; 的值. 【答案】(I)血= 2,0 = ;(11) 逬也1 6 8 【解析】 2TT 试题分析:(1)由函数图像上相邻两个最高点的距离为龙求出周期,再利用公式T = 求 CD 出血的值; / 由函数/(x) = V3si
8、n( + ) e0, 的图像关于直线兀 =彳对称,可得 乙乙)3 ( 已知函数/(x) = V3 sin(dw + (p) e0, 71 、 的图像关于直线兀 =彳对称 , 712兀) V Q V - 6 3 ) (11)若/ 俘 町+ 0十+彳,Zz , 然后结合 - 奢0彳,求出的值 (小 利用同角三角函数的基本关系可求得COS 6Z-的值,因为 I 6丿 / 、 71 a - a - + I 6丿 可由两角和与差的三角函数公式求出sin a从而用诱导公式求得cos?的值 . I 2丿 试题解析:解:(I )因 /(X)的图象上相邻两个最高点的距离为71 . 所以/(X)的最小正周期 T
9、= 7T , 从而 3 - = 2 ? T 又因f(x)的图象关于直线X =彳对称,所以 TT TT TT TT 2?上 + 0 = 龙 + 丝北=0, 1, 2, = 0 3 2 2 2 匚匚II兀2兀兀 =-T=-. (II)由(I)知/(X) = A/3 sin 2x- l 6丿 (a 、 Z 71 ( sina - a 4O)的形式 . 2 ?对于函数的性质( 定义域、值域、单调性、对称性、最值等) 可以通过换元的方法令1= 3 X+(P, 将其转化为研究y= sin啲性质 . 3.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数曲范围的问题:首先,明确已知的单调区间应为函数 的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解 . 失误与防范 1 ?闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数 对最值的影响 . ? (兀 兀(兀 . 兀 =sin, a l 6,. cos +costa .sin 6 I6,! 6 因此cos; a + = sina = sin a-; + - 6 丿6 2 . 要注意求函数y=Asin(ajx+的单调区间时财勺符号,若必0 ,那么一定先借助诱导公式将必为 正数? 3?三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是¥昔误 的.
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