【备战高考_数学】高三数学复习提升专题:利用导数处理不等式相关问题(解析版).doc.pdf
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1、兀+ Gx) = In 兀 + - 2 = lnx + xlnx-x + 1-GV)的符号还不能直接确定?为了 突破 170 分之江苏高三数学复习提升秘籍 问题五利用导数处理不等式相关问题 在高中新课标准中, 导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大( 小) 值、 求函数的 值域等等。在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般 情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求岀极值、最值,因此,很 多时侯可以利用导数作为工具得出窗数性质,从而解决不等式问题。下面具
2、体讨论导数在解决 与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于( 或 小 于)0时, 该函数在该区I可上单调递增 ( 或递减 ). 因而在证明不等式时, 根据不等式的特点, 有 时 可以构造函数 , 用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的, 即把 证明不等式转化为证明函数的单调性. 常见的有如下儿种形式:直接构造函数,然后用导数证明 该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增( 减) 区间,自变量越大,函数值越大 ( 小) , 来证明不等式成立。有时先把不等式变形后再构造两数,然后利用导
3、数证明该函数的单调性, 达到证明不等式的目的。 【例1 】已知/(x) = nx,g(x) = y/x- (I )当xW,求f(x)-g(x)的最大值 ; m 求证:屁总 1),求导利用单调性即可得 其最大值 ; 边不等式显然不宜直接作差,故考虑作适当的变形?为了证右边,设 G(x) = (x +1) In x - 2(% -1), (x 1) (II)由(I )得, lnx 1),求 当兀1 时,f(x)v0; . ? ./ (兀)在(0,1)上单调递增 , 在(1,4-00)上单调递减 . 故/(X)在兀=1处取得极大值 . 函数/* (兀)在区间 + (加0)上存在极值 0 m 1 .?
4、. 1 得丄 V加V1,即实数加的取值范围是丄V加V1 m + 1 2 2 2 (ID由题意 / (恥丄得虫3】)(1+曲), x+1 X 令如上+1)(1+叫2), 则g(x)=(xl), X X 1y 1 令方(x) = x-ln x;(x 1),贝Ih(x) = 1 = X X VX 1 h(x)0故方(x)在1:+巧上单调递増, .?- (x)(l) = l0 从而g(x)0,故g(x)在l:+x)单调递増, -g(x)g(l)=20 /. 实数r的取值范围是(-x:2? 【点评】本题主要考查了极值、存在性问题和恒成立问题,突出了利用导数來处理存在性问题和恒成立问题的能 力。解决此类问
5、题常用的是恒成立问题的变量分离的方法,此类方法的解题步骤是:分离变量;构造函数(非 变量一方);对所构造的函数求最值(一般需要求导数,有时还需求两次导数);写出变 量的取值范圉 . 【小试牛刀】已知函数 / (兀) =(兀+ 1)厂(为自然对数的底数) . (1)求函数/(x)的单调区间 ; (2)设函数(p(x) = xf(x) + tfx) + e x , 存在实数 xpx2 eO,l,使得2(p(x) 3l. 当t0, 0(兀) 在0,1上单调递增 ,?20(0)51),即 / 0, 0(兀) 在r, 1上单调递增, 所以2(p(t) 【分析】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性
6、、极值、最值、不等式等基础知识,考查函 数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力. 第一问,因为兀=0为/(x)的极值点,所以兀 =0是/(%) = 0的根,所以对 /( 兀) 求导,解方程求出d的值,最 后检验一次x = 0是不是/(x)的极值点;第二问,先将不等式进行恒等变形,变 成 0,转化为不等式组,而対于e#+M)0来说, 10 式子比较复杂,不可以直接解不等式,那就构造新函数g(x) = ev-(-x 2+x+l), 通过二2 兀 $ + % + 1 次求导,判断函数的单调性,通过函数图像,数形结合解不等式。 【解析】(I)因为 /( x) = |ax: +( 7 -1)
7、 * x 4- 0时,/r(x)0. 所以“ 0为/(x)的极值為故“ 0? 不 等 式 + 1 , 丿 X 1 0 x ( 1 2 J介或 U 丿 x-l e x - x2 +% + 1 0时,/?/(x) = e x -1 0 ;当兀 /?(0) = 0,即g?)0, 所以g ( 兀) 在R上单调递增,而g () = 0 ; 故“一x2 +x + l 0o 兀0;e x - X2 +x + l x 1 【点评】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、 分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力. 解不等式问题常常被学生认为是一种常规题型,对
8、此学生往往 会想到一些现成的公式和思路,所以有时一个新的不等式出现后学生会无从下手,故可见止确的分析和转化是多 么的重要,当然这非HZ功, 需要长期的积累。 II ( 兀一1)?e x (x- 1) -x 2+x+l 【小试牛刀】设函数/(x) = (1 +兀)2-2ln(I + X) (1)若关于兀的不等式/(x)-m 0在0,一1有实数解,求实数加的取值范围; (2)设g(x) = /(x)-x 2-l, 若关于x的方程g(x) = p至少有一个解,求卩的最小值. 【答案】(1)(Y),/2(2) p的最小值为0 【解析】 试题分析 : (1)存在性问题 , 只需要祝m ? /V) = 2
9、(1 +兀) 一=皿 + 2), 而函数 /(%) 的定义域为(-1 , + oo) 1 + 兀X+1 A /(x)在(1,0)上为减函数,在(0, + oo)上为增函数,则 /( 兀) 在0, 1上为增函数 ,? /( 力唤=f(e-) = e 2-2 即实数m的取值范围为m0,即卩的最小值为0 【迁移运用】 1.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数 f(x) = x3-ax 2+bx-a2-7a 在x = 1处取得极小值10,则- 的值为 _ . a 【答案】 【解析】 = 一2 仗=一6 试题分析:因为广(X)=3* + E + J所以3-2方=0, 解得2
10、 = 1 “ = 9 = 一6 a = -2 3.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】己知函数f(x) = x-lnx,g(x) = x 1 - ax. (1)求函数/(x)在区I可 以+ l(r 0)上的最小值m(r); (2)令力(兀)=g(x) -/(x), A(xp/z(Xj),S(x2, A(X2)( 兀1 工兀2)是函数(x)图象上任意 两点,且满足如上如J, 求实数Q的取值范围; %! X2 (3)若3XG(0,1,使/(%) a8(x) 成立,求实数。的最大值. 【答案】 (1)当Ovfvl 时,m(0 = 1:当时, =(2) a 0在(O +cc )恒成立 ?最后
11、利用变量分离转化为对应函数 最值, 求参数 .2 )不等式有解问题与恒成立问题一样,先利用变重分离转化为对应函数最值, 则F(x)=三一 + 2)x+ In x在Q +Q上单调递増 , 故F(x) = 2x + 2) + 丄A 0 在Q +Q 恒成立 , X 二2x+丄n (a + 2)在(0= +x恒成立 . X 1 L 芋 ?2x+n2jl,当且仅当x =时取 J J x 2 .-.0,则y = 2x 2 +3x-lnx-l 在( 丄,+8) 上单调递增 . 4 4 y ln4-0 ?8 ? tx) 0在兀w (0J上恒 成立. ?心)在(0,1上单调 递增. ?*. a F(0) = 0
12、,无零点e (3)为研究方便不妨设兀已 (0) ,e(l:+x),则需证明芒壬 1,构造函数 Hg = /(花) 一/(2-西) = /(西) 一/(2-西), 可证H(x)在(0J)上单调増,即H(x)2- 西 试题解析:解:(1)函数V = / W的单调递减区间是1+龙) ,单调递増区间为(YC) ? (2)不存在正实数兀使得/(l-x) = /(l + x)成立, 事实上 ,rti (1)知函数y = f(x)在(-oo,l)上递增 , 而当xe(0,l),有ye(0,1),在(1,+8)上递减,有0 F(0) = 0,即/(I + 兀) /(I x), 故不存在正实数x使得/(I -x
13、) = /(I +兀) 成立. (3)若存在不等实数X,乞,使得 /(兀)=/(乞),则兀和乞中,必有一个在(0:1),另一个在(1+R), 不 妨设兀已(0=1),七E(l=+8)? 若2,则冲1 E (1 +切,由0)知:函数F = /(X)在(L +艾)上单调递减,所以广(丑学)o : 若花已(12),由2)知:当xe(o:l),贝iM/ (l + x)/(l-x), 而1XE(OJ),所以/(2兀)=/1 + (1 兀) /1一(1一兀) =/ (西)=/ (吃),即 / (2西) / (乞),而2兀,乃 *2),由(1)知: 函数y = /(x)在(W)上单调递减, :.2-x 1x
14、,f即有弋主E(1+:C), 由 知:函数y = /(x)在a+Q上单调递减,所以广芒玉)0; 仟、_、f *() 0 综合,得:若存在不等实数兀,使得则总有2 5.【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数/(x) = ax 2-hx + n x, (a,b w R ). (1)当a = b = 1时,求曲线y = /(x)在兀=1处的切线方程; (2)当h = 2a +1时,讨论函数于(兀)的单调性; (3)当d = l,方3时,记函数.f (兀)的导函数f(x)的两个零点是兀 | 和兀2(K 兀2),求证: 3 f(西)_ / (花)才 _ In 2. 【答案】(1)力一一2=0. (
15、2)详见解析(3)详见解析 【解析】 试题分析:(1)由导数几何意义得曲线J = /(x)在兀=1处的切线斜率为广(1),所以先求导 /? ) = 2尤一1 +丄,再求斜率k=f(l) = 2,最后由人1) = 0,利用点斜式可得切线方程:2兀一 ),2=0. (2)先求函数导数:广=2似一(2 +1)+ _L = ST)( 1)再分类讨论导 X X 函数在定义区间上的零点:当aWO时,一个零点1;当OVd时,两个零点丄和1;再比 2a 较两个零点大小,分三种情形.(3)本题实质研究函数(pM = f (x)-f (x2)最小值 . 因为 0(兀)=/ (兀1)一/ (兀2)=(斤一兀 ;L(
16、加厂加)+ g玉,X,兀。是方程2x 2bx+ 1 = 0的两个 兀2 根,所以bx =2x“ 1, bx bx?=2 ( 石对 ) ;再由XX2 =彳 H 0(兀)=兀兀ln(2 ), 2 4 兀 2 最后根据零点存在定理确定也取值范围:兀2丘(1,+?),利用导数可得0(x)在区间(2, + 3 8) 单调递增 , 即卩(/) 卩(2)=_ln2, 4 试题解析:(1)因为a=b=l,所以fix)=x 2x+nx f 从而广(x)=2xl +丄. x 因为/1)=0,广(1) = 2,故曲线y=J(x)在x=l处的切线方程为y0 = 2(兀一1), 即2xy2=0. (2)因为b=2a-1
17、?所以貞x)=in c-(2a+ 1 2 心】(2a + l)x + l (2rzx-l)(x-l) 从而 (x)=2ax (2a+1)+ = - - = - - -,x0? X X X 当aWO时,x?(o, 1)时,厂(x)0, x?(l, +8)时,厂(x)0 得0 ,由f(x)0得0l,由/r(x) + ) 上单调递増 ?在区间 ( ? 1)上单调递减? 2a 2a (3)方法一:因为0 = 1,所以f(x)=x 2 bx+lnx.从而厂(x) = 2x bx +1 (x0). 由题意知,X.,兀2是方程 “f+日的两个根,故郴2=? 13 b ifigx) =2$ bx+1,因为b3
18、,所以g( )= - 0(2)= In2,即f(xi) f(x 2) In2. 4 4 o x* bx+1 方法二:因为0=1,所以/W=0 bx+lnx,从而fx= - - - (x0). X 由题意知X,匕是方程2x-5x4-1=0的两个根 . 1 3-b 记g(x) =2x 2-bx+l ?因为b3?所以刃 )=/( )-/U)=(t -斗+ln ) (1一用=一斗 + :_ln2? 24 2 2 4 2 3号3 因为b3 ?故贝心 ) 一兀 0 - + - -ln2- -ln2. 42 4 6.【2016 届山东师大附中高三上学期二模】设函数f(x) = x 2-2x + anx (1
19、)当67 = 2时,求函数于(x)在点(1,/(1)处切的切线方程; (2)若函数 /( 兀) 存在两个极值点若、x2(x, x2),求实数a的范围;证明 : 【答案】(1)尸2兀一3; (2) 0。丄,证明详见解析 . 因为 X1X2=, 所以f(Xi) f(X2)= X; fy ln(2%2 ) X2U(1, + ). 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值 和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化 能力、计算能力 ?笫一问,将a = 2代入,对 /( 兀) 求导,切点的纵坐标为/(I),斜率为/
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