【备战高考_数学】高三数学复习提升专题:圆锥曲线的最值、范围问题(解析版).doc.pdf
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1、与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的硏究,又对最值范围 问题有所青睐 , 它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识, 紧紧抓 住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、 函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意. 一.利用圆锥曲线定义求最值 借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理. 兀2 v 2 【例1】已知A(4,0),S(2, 2)是椭圆 + - = 1内的两个点,M是椭圆上的动点,求MA + 的最大值和最小值 . 【分析】很容易想到联系三角形边的
2、关系,无论4、M、B三点是否共线,总有MA+MBAB , 故取不到 等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作 【解析】由已知得A(4,0)是椭圆的右焦点,设左焦点为F(-4,0)根据椭圆定义得 MA-MB=2a-MF + MB = 0 + MB-MF ,因为|MB|-|A/F| 方 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,bp / b 亠 a =、5b = y lc代入*式彳导b = c =1 ? a = 由A: 2 0 :.k 2 2 =上(X + 心 _ 4 )= 一4上 1+ 2 k 1.加1. 4k 1 + 2,“一:? 1 + 2戸 10分 3%416t2
3、将上式代入椭圆方程得: 整理得:r = 16 k 2 l + 2p 所以虫(一2,2) 12分 【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于弘b、c的等量关系 ; 直线和椭圆的位置关系问题,往往 要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得t = / 伙),逬而求函数值域. 【牛刀小试】已知椭圆U的中心在原点,焦点F在x轴上,离心率 “冷-点 QS,予在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程 ; (2)若斜率为伙工0)的直线交椭圆C与A、B两点,且心八k、心B成等差数列 , 点求SWM的最大值? 【解析】 (1) 设椭圆方程为二 +占=1,由题意知 a o 联立解得,戻 =1,
4、 / = 4 , 所以椭圆方程为工 + y2 = 1 4丿 2)由题意可知,直线z的斜率存在且不为0 ,故可设直线Z的方程为v = Ax+ y = kx-nt x 2+4才-4 = 0 消去F 得(1+4疋)A? +8fow无+4(“ -1) = 0 . A = 641c 2m2-16(1 + 4k 2)(m2 - l) = 16(4k2 -m2 +l)0 因为直线OSB的斜率依次成等差数列, 所儿 + = 2k ?即?” + XJ; = 2 后择 ? ? ? ? 又y = Ax + m,所以+ x:) = 0、 即w =0 . f _ 24 联立7+3 =易得弦加的长为J1 + F - Iv
5、 = kxJ1 + 4A:* 石一 又点M到y = kx的距离d = -皆 M = 2M 2J1 +册血+1 J1 + 4L 平方再化简求导易得k = -1时S取最犬值 4 三.二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题 来处理 . 7 ? 【例2若点。 “分别为椭圆令 +专“的中心和左焦点,点P为椭圆上的 - 点,则 OP ? PF的最大值为 _ 助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理. 一8 Aw 1-4F - - = r y 【解析】设只兀y),则OP PF=aX)又点、P在椭圆上,故 + = b 4 3 +x+3 = Jx+
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