【备战高考_数学】高三数学复习提升专题:平面向量在解析几何中的应用(解析版).doc.pdf
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1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必 然趋势,平面向量在解析几何的应用非常广泛,通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问 题的处理,其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算, 本文从以下几个方面 加以阐述 . 一.利用向量相等的关系,把几何问题代数化 两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同,由于向量坐标的唯一性,故两 个向量相等的充要条件是坐标对应相等. 【例1过双曲线匚 - 赛=1(G 0,b 0)的左顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲 a tr 线的两
2、条渐近线的交点分别为B , C . AB = -BC ,则双曲线的离心率是_ ? 2 【分析】求出过双曲线左顶点且斜率为1的直线方程,并和双曲线渐近线求交点得B , C的 坐标,带入向9AB = -BC中,由向量坐标相等的充要条件得心2G,结合c 2=a2b2 2 求离心率? 【解析】点川 - 。0|直线p = x+Q与渐近线方X+Q = 0的交点屈一 = 上二、直线F =与渐近线 b +a a + o . AB = BC ?得b = 2 令d = k,k 0 U 则 F作直线 / 交椭圆C于A , B两点,交y轴于M点,若 【解析】 (I)根据题意得 : 解得a 1 =5SZ 2 =1,所以
3、椭圆 C的方程为 :- + y2 =1. (II)椭圆c的右焦点F (2;0): 根据题意可设八y = k(x-2) ?则 M (0, -2k), y =Jt(x-2) 令出耳 ( 七亠) ,由/ 2 得:(5疋+1)壬-20必+205 = 0 += 20芒 X1+ =T+F _ HA0,由XL4 = AlAF.MB=/BF得 20-5 (X +2幻=右(2 坷厂” )=(xj.y + 2/c) = (2 )过点0(-4,0)任作一动直线 / 交椭圆C于M,N两点,在线段MN上取一点 /?, 使得 ”比=(加一不)0 一七)=M_称(乃 +乞)+兀乞=W 2 - 4w2 -4 (*) 【例3】
4、如图,已知椭圆C: 匚 F2,其上顶点为A. 翳惴,试判断当直线/ 运动时 , 点R是否在某 - 定直线上运动?若在请求岀该定直 线, 若不在请说明理由 . 【分析】由已知条施Q、弘N三点共线,R、% “三点共线 , 由翳惴,故可设MQ = A QN t MR = “ RN , 其中 M、TV两点是直线y = k(x + 4)与椭圆 2 2 令+ * 二1的交点,所以设M(x,x),Ng, 儿) ,考虑根与系数关系, 设恥0,北) ,带 入向量式,利用向量相等的充要条件,得其坐标间的关系并结合消参技巧得x0=-l , 故点 R在定直线兀 =一1上? 2 ;【解析】 (1) 是边长为2的正三角形
5、,则c=14 = 2,故椭圆C的方程为宁 + * = 1. (2)直线m的斜率必存在,设其直线方程为$ = 4),并设M( X1 / J Ng = 比) ? x 2 v 2 联立方程丁 + 亏巳 消去P得(3+4上2)疋+32疋0 + 64,-12 = 0,则 j = M+4) 入一642-12 = 144(1 僦2)0,兀+不=_,旺*2= - 厂,由题意可设 3 + 4L “3 + 4/ MR = -A RN , MQ = bQN ,由MQ = 4QN得一4一西=2(兀?+ 4),故 v -4- 4 ? ? A = 一一!- ?设点R的坐标为(儿),则由MR = a? RN得兀。-x, =
6、 -/L(%.-x0), % +4 解得 兀+4 x + - 兀2 + 4 J 2XX2 + 4(%j +x2) I 兀1 + 4 (兀1+兀2)+ 8 +4 直线兀 =一1上 【点评】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化,利用向量相等的充要条件是联 系的桥梁 , 同时要注意设而不求技巧的体现. %2 y2 【小试牛刀】设椭圆C: + - = 1(6/ 0)的左右焦点分别为片、代,A是椭圆C上的一a 2 点,A笃?斥坊=0 ,坐标原点O到直线Af;的距离为OF ? (1)求椭圆C的方程; (2 )设Q是椭圆C上的一点 ,/V(-1,0),连接QN的直线交y轴于点M , 若
7、MQ = 2QN,求直线 / 的斜率 . 1-A 又2兀宀+4(西+兀2)二 6412 3 + 4/ + 4卓 3 + 4公 -24 3+ 4疋 (%! + x2) + 8 = -321 3 + 4/ 24 3 + 4/ 2%,%2 +4(兀+兀2) (兀 + X-,) + 8 , 故点R在定 【解析】(1)由题设知好(-7/-20耳其中心血由于AF 2 - FF、= 0,贝(J有“迅 _F、F 所以点 / 的坐标为(J匸1 2) a X1 故所在直线方程为y = ( / + - ) ajx一2 所以坐标原点o到直线垢的距离为也 又|0歼=77二i,所以也二,需口解得:Q = 2cT1 3 所
8、求椭圆的方程为宁+才1 (2)由题意可知直线 / 的斜率存在,设直线斜率为卅直线/ 的方程为y = Kx+l ),则有M (O zk)设 根据题意得(耳H - 幻= 2(xi +1 H), 又0在椭圆C上,故学 +匕? 4 2 解得上=0卞=4,综上,直线 / 的斜率为0或 4. 四、利用向量夹角 , 合理处理解析几何中的角度问题 两个非零向量o,b夹角范围为0,龙, 由数量积定义a-b= a ? b?cos(2) 2). 【解析】 试题分析:(1)设将已知的向量表达式用坐标表示,列出方程消去比方即可; B(心乃) ?防程为v=2x+W,并设 ?述方程为y=-|x+6,联立直线.45与抛 物线
9、组成的方程组,由山0求出方的范围,由根与系数关系求出(2)存在常数A=-,使AM ? AN = WQ总成立16 7 16 【解析 试题分析: 本题主要考查两圆的位蚤关系、直线与椭圆的相交问题、椭圆的标准方程及其几何性质、韦达 走 理、向量的数量积等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力?第一问,通过 分析得两圆相内切得两圆半径的关系,符合椭圆的走义求出a、b、c,从而得到椭圆的标准方程:第二 问,分直线MN斜率存在或不存在时, 分别讨论, 当直线MN斜率存在时, 直线与椭圆方程联立, 消参, 利 用韦达走理得西 +呂、西呂,代入AMAN = AOQ2中,根据已知列出方程
10、解出入. 试题解析:(I)V X-3:0)在圆P的内部, ?两圆相内切,所以 f 艮卩BC-AC = 8AB. ?C点的轨迹是以为焦点的椭圆 且长轴长2a = 8, a = 4 ? c = 3 ? r a 二决=16 9 = 7?曲线丁的方程为:二+匚=1?4分 16 ( 口) 当直线MN斜率不存在时,AN= AM= ,OQ 2 =7. 7 ?.AM?AN=| AM|?| AW|?cos7r = 7九,则2 = 一 ;5 分 16 当直线MN斜率存在时,设, 7V(x2,y2) , MN:, = k(x + 3),则OQ:y = kx , 由+16y$ = 112,得(7 +16疋) 兀2 +
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