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1、江苏省泰州中学高三数学期末复习( 六) 2014-01-20 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合xx 2= 1, B= xx(x? 2)b0)的离心率为a h 11.在等边三角形ABC中,点P在线段4B上,满足AP = AAB,若CP AB = PA PB , 则实数2二 _ ? 12.设正实数x, y, z满足兀 + 2y + z = l,则_J_ + 2( +)0的最小值为 _ . 兀+y y+z 仇的前n项和,且益 =2凹,( “) ,则 Tn 4 刃 - 2 二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 15.已知向量G = (2cosx,sin x),
2、b = (cosx.2A/3 COSX), 函数/(x) = ? (1)求函数/(x)的单调递增区间 . (2)在ABC中,a.b.c分别是角A、B、C的对边,d = l且/(A) = 3 ,求/XABC面积S 的最大值 . 10.已知椭圆= (ab0)与抛物线尸 =2四(p0)有相同的焦点FP, Q是椭 13.已知S”,7;分别是等差数列 + 4(兀一6)2,其屮2h 0)的左、右焦点,M、N分别是cr tr x v 直线/ : + = ( 杭是大于零的常数 ) 与兀轴、y轴的交点,线段MN的中点P在椭圆a b C上. (I )求常数加的值;(II)试探究直线 / 与椭圆C是否述存在异于点P
3、的其它公共点?请说明理 由; (III)当a = 2时,试求 PF lF2面积的最大值,并求 PFF?面积取得最大值时椭圆C的 方程. mx 19.已知函数/(x) = 在x = l处取到极值2. ( I ) 求/( 兀) 的解析式;(11) x + n 设函数g(x) = lnx + .若对任意的Xj G Z?,总存在x2 e 1, 使得g(x 2)b0)与抛物线y 2=2px(p0) 有相同的焦点F, 是椭 2 圆与抛物线的的交点,若PQ经过焦点F,则椭圆厶 + CT 11.在等边三角形ABC中,点P在线段A3上,满足AP = AAB , 若CP AB = PA PB , 则实数2二 _
4、. 1- 2 12.设正实数x, y, z满足兀 + 2y+z = l,则 + 9( V+ V) 的最小值为 _ .7 兀+y y + z 13.已知S”,7;分别是等差数列an, 仇的前n项和,且益 =如丄丘“),则 Tn 勿-2 如 | 如 二 41 E+久仇+也5 78 14.定义域为D的函数 )=/(?,若存在常数, 使得对于任意西 , 吃丘 , 当 舛时,总有 /( 西)+ = (ab0)白勺离心率为 /( 召)=“ ,则称点(Q“)为函数y = f x) 图象的对称中 心. 已知函数 /( 兀图象的对称中心的横坐标为1, 则可求得:q刃迈丿“I硕尸 I (4022) | 川4023
5、)二 硕丿丿(2012丿一-8046 二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 15.已知向ft a = (2cosx9sinx), b = (cosx,2v3cosx), 函数/(x) = a?b+l. (1)求函 数/(x)的单调递增区间 .(2)在ZABC中,ci、b,c分别是角A、B、C的対边,a = 1且/(A) = 3 , 求ABC面积S的最大值 . 解:因为/(x) = d ?& = 2c +2js i nc OS+1 = cos2x + sin2x + 2 = 71 2sin( 2x 4) + 2 /. 2k兀- W 2兀H5 H,伙wZ),解得:k7i 2bc, be 0,函
6、数/(x)单调递增;在,6上, /(x)b 0)的左、右焦点,M、N分别是 直线l:- + = m(杭是大于零的常数)与兀 轴、y轴的交点,线段MN的中点P在椭圆a b C上. (I )求常数加的值;(II)试探究直线 / 与椭圆C是否还存在异于点P的其它公共点?请说明理 由; (III)当6/= 2时,试求 PF F2面积的最大值,并求 PFF?面积取得最大值时椭圆C的 方程. mu mb 解:(I )由已知可得M(呦,0)、7V(0,mb ), 故MN的中点为 2 2 又点P在椭圆C , A+ = 1,所以m = y/2.- 4分 4 4 (II)(解法一)由(I )得/: 兰+丄=血,
7、a b 与方程C 联立得:2b 2x2 -2y/2ab2x + a2b2 =0, 即2_2血俶 + /=0,由于 = (2屈)24x2x/=o, ?此方程有两个相等实根“华 故直细与椭圆C相切,切点为P(孕, 孚),除此之外,不存在其他公共点. 10 13 丿 售套题所获得的利润最大. - - 14分 .2 -.2 - 10 、 N (解法二)由(I )得/:- + - = V2,与方程C联立得 : a b 兰+ 7 a b a 2 b2 9 X 2 b 2 +厂 L 2 +2 a b 0函数g(x)在l,e单调递增,其最小值为g(l) = a 0,单调递增,所以函数g(x)最小值为f(a)
8、= na + l,由+ 得 2 0 e时,显然函数g( 力在1疋上单调递减,其最小值为g(e) = l + -2-,不合 e 2 题意, 综上所述,d的取值范围为a0 时,/(x)0, f(x) =当且仅当x = l时取 “二” . S产- - =討1_(一少 1-(-空) 当n 是奇数时,Sn = 彳&1 + (*)“,单调递减,二 & S3 S5 S2z,_| ci, 当n是偶数吋,乞 =彳吗1一(*)“,单调递增,?S2vS40), 因为准线 / 的方程为x = -2 ,所以一彳 =一2,即卩=4,因此抛物线C的方程为y 2 =8x . 4 分 (1) cos = -16 V32-V32
9、 71 则佔与CE所成角为亍 (2)设平ffi 0DM的法向量死=(兀z)则由宛丄OD.Rn丄MD可得 2x + 4y = 0, 2 尢 + 2y + 2z 0, sin 0 - cos = nCD(2, 1, 1)-(0, 4, 2) =6 =V30 1(2, 1, l)|(0, 4, 2)| “ 76-275 10 ?直线CD和平面ODM所成角的正弦值为譽 . . 10 匚 2/-(3r-) (ID由题意可知,P(-2,3r-), 0(0,2(),则直线PQ方程为:y-2t =- 兀, t2 即(r 2-l)x + 2ty-4r2=0, 设圆心在x轴上,且与直线PQ相切的圆M的方程为(x-x0) 2 + /=r2 (r0), 即(r 2 -1) A:0 -4r =r + rr 或( 尸一l)x()4尸=一厂一灯? 由可得(x0 - r-4)r 2 + x 0 - r = 0对任意虫R ,心0恒成立 , 因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切,圆M的方程为 (X-2) 2 + /=4. 10 分 则圆心M(x0,0)到直线PQ的距离 (r 2-l)x Q-4r 2| 厶 2 则有 解得二舍去 ) 由可得 ( 无)+ r - 4)r 2 -x 0 +厂=0对任意r G R, r工0恒成立 ,则有 x0 + r - 4 = 0, 一兀+厂=0, 可解得 r = 2.
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