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1、经金“中小学教材审定養员余 2004年初过 普通薛中课程标准实验教科书 数学? 人民敦商出版粒课程鞍材硏究所编耳中学数学课專教材研究开炭中心 函数的奇偶性 ?教材分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。教材沿用了处理函数单调性的方法,即先给出 儿个特殊函数的图像,让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特 征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在这个基础上建立 了奇(偶)函数的概念。因此教学时,充分利用信息技术创设教学情景,会使数与形的结合更加自 然。 厂、 ?教学目标 _ Z 【知识与能力目标】 1、使学生从形与数两个方面理解函
2、数奇偶性的概念、图像和性质; 2、判断一些简单函数的奇偶性。 【过程与方法目标】 1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。在概念形成的过程中,渗透数形 结合和特殊到一般的数学思想方法; 2、通过对函数单调性定义的探究,培养学生的抽彖思维的能力。 【情感态度价值观目标】 经过探究过程,培养学生严谨论证的良好思维习惯;使学生经历从具体到抽象,从特殊到一般 的理性认知过程。 ?教学重难点 J 丿 【教学重点】 函数奇偶性的概念及其判断。 【教学难点】 函数奇偶性的掌握和灵活运用。 ?课前准备 _ Z 通过本节导学案的使用,引导学生对函数奇偶性有个初步的认识,带着问题学习。 、 ?教学过
3、程 _ Z (一)创设情景,揭示课题 1、实践操作:(也可借助计算机演示) 取一张纸,在其上画出平而直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图像的图形, 然后按 如下操作并回答相应问题: 以y轴为折痕将纸对折 , 并在纸的背面(即第二彖限)画出第一彖限内图形的痕迹,然后 将纸展开,观察坐标系屮的图形; 问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数尸f(x)的 图像,若能请说出该图像具有什么特殊的性质?函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数 . 尸fd)的图像,并且它的图像关于y轴对称; (2)若点(从玖沁在函数图像上,则相应的点(一
4、/ 代劝)也在函数图像上,即函数图像上横 坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等。 以y轴为折痕将纸对折,然后以丸轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三彖限)画出第 一彖限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系川的图形: 问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数尸f(x)的 图像,若能请说出该图像具有什么特殊的性质?函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:( 1)可以作为某个函数y=f(x)的图像,并且它的图像关于原点对称; ( 2)若点( x, /(%)在函数图像上,则相应的点( 一*, -/(%)也在函数图像上 , 即函数图像上横坐标互为相反数的点
5、,它们的纵坐标也一定互为相反数。 2、观察思考 ( 教材P39、P40观察思考 ) ( 二)研探新知 考察下列两个函数: 思考1:这两个函数的图像分别是什么?二者有何共同特征? 思考2:对于上述两个函数 ,f(l)与A-1), f与A-2), f(3)与A-3)有什么关系 ? 思考3: 般地,若幣数y=fx)的图像关于y轴对称,则Hx)与f(- 方有什么关系?反 之成立吗? 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数,那么怎样定义偶函数? 1、函数的奇偶性定义 象上面实践操作中的图像关于y轴对称的函数即是偶函数,操作中的图像关于原点对称的 函数即是奇函数。 (1)偶函数(even functi
6、on) 一般地,对于函数 /(劝的定义域内的任意一个都有f(力二f(x),那么就叫做偶函数。 ( 学生活动 ) :仿照偶函数的定义给出奇函数的定义。 (2)奇函数(odd function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个“ 都有 /( 力二-fd),那么fd)就叫 做奇函数。 思考5:函数是-1,2是偶函数吗?偶函数的定义域有什么特征? 注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 (1 )J(x)=-x 2 ; x o 图(1) 图(2) X,则一X也一定是定义域
7、内的一个自变量( 即定义域关于原点对称) 。 2、具有奇偶性的函数的图像的特征 思考:考察下列四个函数的奇偶性及图像特征:( 1爪兀 ) 二“ ;( 2) /u) =*| ; (3)心)=兀;(4) y二丄. x 偶函数的图像关于y轴对称; 奇函数的图像关于原点对称。 ( 三)例题讲解 ( 1)判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性: (1) y = x +丄;(2) y = Jl_ 兀2 . 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定/(x)与f( 力的关系 ; (3)作出相应结论: 若f( 0 = 或fj f3 = 0
8、,则f(0是偶函数; 若f x) =f(.x)或f( x) +fx) = 0,则 (/) 是奇函数。 例2、己知定义在斤上的函数玖力满足: 对任意实数,都有f(a-b) = afb)+bf(a)成立。 (1)求f(l)和代-1)的值; (2)确定的奇偶性。 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应首 先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数。 (2)函数的奇偶性与单调性的关系 (学生活动)举儿个简单的奇函数和偶函数的例子,并画出其图像,根据图像判断奇函数和 偶函数的单调性具有什么特殊的特征。 例3、已知fd)是奇函数,在(0,
9、 +8)上是增函数,证明:在(一8, 0)上也是增函数 解:(由一名学生板演,然后师生共同评析,规范格式与步骤) 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。 (四)课堂练习 1、 教材P41例5。 2、 教材巴2练习1。 3、 确定函数fx )-X +21 +3的单调区间。 4、 判断下列函数的奇偶性: /(x) = a ( x G /?) (五)课堂小结 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图像法, 用泄 义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的泄义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的 综合应用是木节的一个难点,需要学生结合函数的图像充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。 (六)布置作业 1、书面作业:课本习题1? 3 (A组)第9、10题,B组第2题。 2、课后思考 : 己知/ (劝是定义在R上的函数, “(17) X(1 + X) x 0, x0. 设g= 沧)+兀一力 , 心=心- f (7 试判断竝兀)与/2(无)的奇偶性; 试判断g(X)/(X)与/(X)的关系; rh此你能猜想得岀什么样的结论,并说明理由。 ?教学反思 略。
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