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1、第六章数列 第二节数列的应用 第一部分三年高考体题荟萃 2010年高考题 一、选择题 1. (2010江西理)5. 等比数列陽中 ,5=2, 4严, 函数 / (兀) =兀(兀一4)(兀一2)(兀一兔),则 / () =() A. 26 B. 2 9 C. 212 D. 215 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x项均取0,则/(0)只与函数.f(x)的一次项 有关;得 :a-a 2- =( aia8)4 212 0 /2 B. 1 - 5/2 C. 3 + 2/2 )3- 2/2 【答案】C 【
2、解析】依题意可縛:2x(1)- 1即勺?q + 2q,则有a#? q +坷g可得 =1 + 2?,解得? = 1 + V2或0 = 1-血( 舍) 所以 3/ 手眄=詔邛 +2血故C正确 a7+a 当q =1 时,| -1 勺一q |冃(1一匕) 一(1-勺)|=| 所以d(A-C9 4 一勺 | = d(A, B) /=1 (II)设A = (a ,a2,.,an), 3 = (%$, ,氏 ),C = (q,q,q) w S“ d(A,B) = k, d(A,C) = /, d(B,C) = h. 记0 = (0,0,.,0)w S”,由(I)可知 B) = d(A A,B A) = d(
3、O,B-A) = k d(A,C) = d(A A,C A) = d(O,C A) = / d(B,C) = d(B-A 9C-A) = h 所以| 勺一q | (i = l,2,.)中1 的个数为 , c i-ai | (z = 1,2,.,72) 的 1 的 个数为人 设/ 是使出_q?冃qq? |= 1成立的j的个数 , 贝h = Uk-2t 由此可知,k,l,h三个数不可能都是奇数,即d(A,C), d(B,C)三个数中至少有一个 是偶数。 _ 1 (HI) d(P) = 工d(A,B),其中 工d(A,B)表示 P中所有两个元素间距离的总和, A.BeP A.BeP 设P种所有元素的
4、第八个位置的数字中共有右个1,加t i个0 A、BwP /=! 由于 ( 加一 ) 卑( 心1,2,?. ) 2 所以工 d(A,B)5 葺 A.lieP4 4.(2010天津文 )(22)( 本小题满分M分) 在数列佢讣中 ,a严0,且对任意ke N*, a2k_1?a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k. (I)证明a4,a5,a6成等比数列 ; (II)求数列色的通项公式 ; 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分14分。 (T )证明:由题设可知,a2
5、=a+ 2 = 2 , cz3 = + 2 = 4 , cz4 = cz3 + 4 = 8 , c% = % + 6 = 18。 从而-=, 所以匂, % 成等比数列。他偽2 (II)解:由题设可得a2M -a 2k_ =4k,ke N* 所以。2*+1 a a2k+l a ) (2人-1 2 类似地,称图2屮的1, 4, 9, 16这样的数成为正方形数。下列数屮及时三角形数又是正方形 数的是 A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a n=-(n + l),同理可得正方形数构成的数 2 列通项bn = n 2, 则由
6、bN = n 2 (ne N+)可排除A、D,又由a n 必为奇数 , 2 故选c. 6 (2009安徽卷理)已知 % 为等差数列,同 +色+冬二皿,。2+卬+% 二99,以S “表示 an的前n项和,贝9使得S”达到最大值的是 A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】B 【解析】由4+偽+。5=1 5得3终=105,即色=35 ,由a2 +a4 + a 6 =99得3為=99即 Vi jr H7T 7. (2009江西卷理 ) 数列an的通项an = T? 2( COS 2 sin2 【解析】由于隔晋 ?爭以3为周期,故 4(甲+ ¥) +(- 学 + 62) + .? +
7、( +292 丸-nU +( 3b 9- 鼻皿25 = 470 故选A 2 “ 2 2 8? (2009四川卷文)等差数列an的公差不为零,首项4=1,色是绚和他的等比中 项,则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】设公差为,则(1 + )2 =l?(l + 4d). TdHO,解得d=2 f .SIO = 10 二、填空题 9.(2009浙江文)设等比数列色的公比q 丄前斤项和为S” ,则远= _ . 2 a4 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前几项和的知识联系.
8、 答案15 解析对于$4二 一, 偽=加, ?-=_ =15 q 伽 q (J一q) 10. (2009浙江文)设等差数列色的前刃项和为S,则S 58-S4, S12-S8, Sr (2)血二丄 + 丄 + 丄+L b? b 2b3 b3b4 ? =丄+丄+丄+12)具有性质P;对 任意的 j an, 故anan电 A. 从而1 = G A f 6Z| = 1. an 7 1 = an,故G = 2,3, ?/)? 由A具有性质P可知玉 w Ak = 1,2,3,?加. 又?如 从而乞=- + ? + + = )+a 2 + ? + % + 勺, 色色一1 。2 4 . 。1+。2+? + %
9、_ 门 ? ?1 _1 | “川? 4+。2 + + d;? (Ill )由(II)知,当n = 5时,有 = a3, 即a5 = a 2a4 = aj , 6 a3 ? .T = q V。2 V V 5,? a3a4 a2a4 = a 5,? a3a4 电 人, 由A具有性质P可知A. J a2a4 = aj , 得=G A , 且lv = a 2, ? *. = = , a2 eg a2 偽 a 2 ?. 二鱼二鱼二坐二,即44444是首项为1,公比为 $成等比数列 ? a4色 ai a 24.(2009江苏卷)设色是公差不为零的等差数列,S”为其前项和,满足a22 4- a32=a42+
10、a52,S7=7o (1)求数列色的通项公式及前项和S (2)试求所有的正整数加,使得乞沁为数列色中的项。 。加+2 【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分14分。 (1)设公差为d,则C 二 Qj ,由性质得3d(6?4 +) = “(。4 +),因 7x6 为工0,所以 +色二。,即2坷+5 = 0,又由S 7 =7 得7。 - d = 7, d = 2所以花 , 的通项公式为an = ln-l , 前門项和氏 =亍-6叭 込 L =-7)(2 心),设2叶3“, (方法 - )仏2m-3 则如血二a_4)a_2)= _6,所以为8的约数 佥+2
11、 i i 因为亡是奇数,所以亡可取的值为 1, 当t = l, m = 2时,f + _6=3,2x5 7 = 3,是数列也中的项; t Q 当r = _L,/= 1时,r + ?_6=T5,数列务中的最小项是5,不符合。 所以満足条件的正整数阳=2 D (方法二)因为如也 =(心+厂4)(。心一2)二+2 _ + 丄为数列 % 中的项, am+2 am+2 m+2 Q 故为整数,又由(1)知:匕”+2为奇数,所以4“+2=2加3 = 1,即加= 1,2 am+2 经检验,符合题意的正整数只有m = 2o 25 (2009江苏卷)对于正整数心 2,用7;表示关于兀的一元二次方程/+2做+ b二
12、0有 实数根的有序数组(d,b)的组数,其中。上丘1,2, / (a和b可以相等);对于随机选取 的a,处1,2,/ (。和b可以相等),记乙为关于兀的一元二次方程/+2处+ /? = 0有 实数 根的概率。 (1)求弓和七2 : (2)求证:对任意正整数事2,有巳1一命. 【解析】必做题木小题主要考查概率的基木知识和记数原理,考查探究能力。满分10 分。 (1)解:因为方程J +2Q +6 =0有实数根所以d = 4/30卫卩6 (i)当几W a W J 时?有几 W a.又b e | I f2f? - tn21 故总有b a2?此时.a 有J?1种 取法.6冇/ 种取法?所以共有(J?n
13、+ 1)(组有序数组(at6)満足条件 ; (ii)当I W a W /! - 1时. 满足I W 6 W a的b有/ 个. 故共有I 2 +2, +3, 4+ (n-1) 2 二心组有序 数组(flt6)漓足 O 条件. 由(ii)可得心=W -n +1)宀也-1严也=M邑二晋341 从而宀 = 心6 J - 4n 2 + 3n + 1 ? n4 “ 6n 3 (2)证明: 我们只需证明 : 对于随机选取的a?6c |1,2,/,方程 0 且b H l,b,厂均为常数 ) 的图像上 . (I)求r的值; (II)当b二2 时,记 仇=2(10$ 色+1)5 wNj 证明:对任意的HG N +
14、 , 不等式D?如乜勺匚tl 后T成立 S b2 b H 解: 因为对任意的处点5,S” ) ,均在函数y = b x + r(b 0 且bT,b,r均为常数的图 像上. 所以得S /t = b n + r , 当= 1 时,ax = S = /? + r,当n X 2 时,色 =S厂 SS + r- 旷 + r) = b n-/i =(b I)/“,又因为 匕 为等比数列,所以r = -l,公比为 b, an=(h-)h n- (2)当b二2 时,an =(b- 1)丹=2 n- , b n = 2(log2an +1) = 2(log2 2W_1 +l) = 2n 当心时,左边弓右边M,因
15、为妊所以不等式成立. 则如二! . 二如!,所以 hn In b、 h 2 也十1 $+1 仇+1 3 5 7 I 仇2 4 6 2n + l In /? + 1 下面用数学归纳法证明不等式 一 B+l 亿+ 1 3 bT V2 2/2+1 M+i 成立. 2n 显 x2xxQvJy.x 如IjJ: 24 2n V 3 5 2/1 + 1 V2n + 1 假设当n = k时不等式成立,即如也 ?如匕址乜=? b b 2 bk 土乜成立 . 2k 则当xk + l时,左边$ +1几+1=2 0 b 2 hk bk+ 2 2R + 1 2k 23 2R + 2 时貓冷舗 4(如八4(屮+ 1*丄府
16、而 4 伙+ 1)V 4 伙+ 1) 7 所以当n = k 1时,不等式也成 立. 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知S”求色的基本题型, 并 运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.( 2009 广东卷理)知曲线C,I:X 2-2/?+/=0( H = 1,2,.). 从点P(1,0)向曲线C 引斜率为kn(kn 0)的切线人,切点为P n(xn,儿) . (1)求数列兀“与儿的通项公式; (2) 证明:Xj ? x3? x5 x 2tt _i 2 9an都是奇数 ; (II)若对一切HG N+都有 +,求坷的取
17、值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算 求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13 分。 解:(I)已知q是奇数,假设ak是奇数其中加为正整数, 则由递推关系得严七一 =m(m-l) + l是奇数。 根据数学归纳法,对任何色都是奇数。 (TI)(方法一)由色=占(匕一1)(色一3)知,afl+1 a n当且仅当或an3 . 1 + 3 32 +3 另一方面,若0 53,则ak+ - = 3. 根据数学归纳法 ,03o色3,0处N# 综合所述,对一切ZIG M都有曲 色的充要条件是0 v q 3。 117“
18、 由于却 = 2 + 1 可令函数/( X) = x-V2 sinx ,贝! / (x) = 1-V2cosx (方法二)由色 =“ ; , 得dj - 4舛+ 3 0,于是0 v a】v 1或q 3。 _ an + 3 Q ”J +3 _(Q ” +色_1)(色一色 _) 曲“444 2 因为4 0,%= 爸2 所以所有的均大于0,因此陽 +】_色与陽一色 _同号。 根据数学归纳法,V/7G N + , d曲- 色与。2-州同号。 因此,对一切ne N+都有an+l ?的充要条件是0 v ? v 1或a 3 29. (2009江西卷理)各项均为正数的数列。“ , ax =a,a 2 =b,且
19、对满足 m + n = p + q的 14 一 (1) 当a = ,b =时,求通项d ; 25 ” (2)证明:对任意。,存在与d有关的常数2,使得对于每个正整数斤,都有y0),则在定义域上有 (l + d)(l + x) 1. - , a 1 1 + d , 2 1 + Q 故对nw N二 b n+ g(d)恒成立 . 注意到0 Vg(G)S丄,解上式得 l_g(d)_Jl_2g(d) v l_g + Jl_2g(a) l g(o) +Jl-2g(o) “ 30.(2009湖北卷理)已知数列a,的前n项和S” = -q厂(丄)心 + 2 (n为正整数)。 (I)令bn=2 na n,求证数
20、列仇是等差数列,并求数列?的通项公式; (II)令cn=an, T n=cc2+ + 试比较 7;与亠一的大小,并予以证明。n 2n + l 解( I)在S“ = 一一 ( 丄严+ 2中,令n二1,可得 于是确定 T”与 5/7 2+1 的大小关系等价于比较2“与加+1的大小 (II)设数列$的前斤项和为是否存在正整数使得R tl 4Zr成立?若存在,找出一个正整 数若不存在,请说明理由; (III)记_=纭-纭设数列匕的前川项和为7;,求证:对任意正整数斤都 3 有W 1 2 解(I)当M = 1时,q =5 B组:数列S” 是B-数列,数列S” 不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条
21、件,另一组屮的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (III)若数列色是B- 数列,证明:数列尤也是B-数列。 解:( I)设满足题设的等比数列为匕, 则an =(-y- . 于是 1 1 7 1 色一 = 严=-x(-f- 2,n2. 一色丨 +丨色一色.1 +?+|為 _q| 3 X 2 1+- + (-) 2 +? + (丄)I 2 2 2 =3x 恥25x(右+右+ ?+右)冷 + 25%46猜想:数列心是递减数列 F面用数学归纳法证明 : (2)假设当n二k时命题成立,即xlk x 2k2 独一“2R+2 (1 + 兀2 上)(1 + 兀2上+1 )(1
22、 + 兀2JI+2 )(1 + X2M ) 也就是说,当n二k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 +1 一兀 =卜2一无1| = 一,结论成立 6 易知0 4k成立?若存在,找 13 21 (1)当n二1时,已证命题成立 易知 X2k ,那么兀2知2 _ “2知4 1 _ 1 1 + X2k+l 1 + X2k+3 兀 2?+3 一 心+ 0 + 池+1 )(1 +兀2R+3) 即兀2(?+1) 兀 2仗+1)+2 (2)当n二1 时, 当H2 11 1+耳1+ -】 ?兀+i 一兀 (1 + )(1 + _】 ) 6 5 出一个正整数若不存在,请说明理由; (III)记C“ =
23、纭一纭 _0疋N*),设数列c的前项和为人,求证 3 有恥丁 解(T)当斤=1时,坷=5S+l,?.q =-* 又? an = 5S n +1, an+ = 5S”+ 4 -1 f- 心,即计 w ?数列色是首项为?=_t,公比为q = 的等比数列 , 1 4+(_“ ( 一汀,b,=( 处“). 4 i-( -4r 4 ?当n为偶数时,设n = 2m(me ?: 心 =(勺 + E) + (勺 + 血)+ + ?心 + b 2m) 4k 成立。. 55 _ 15x16“ _ 15x16“ 15x16“ _ 15 5 一 2“ 一42” 1 + 421+1 (161)(16“+4)一(16)2
24、+3x16“ 一4 (16“尸一恠 又bx 3,Z?2c2 =, 3当斤=1时,7? 2时, 1 1 0 41 1 1 4 讦卩一(忆) “3 16 2 16316“ 3丄 16 对任意E整数都 (II) 不存在正整数 a, 使得R fl 4k成立。 证明: 4 + (卜 由(1)知仇二 =4+ (_4r_! 1-(寸 20 ?乩 + 纭 * +( _4) 1 _ + 冷口 = 8*命一越二8 15x16*-40 二 (16*1)(16人+4) 8m-4 = An 16 2 1 4 “ 存69 3 3 丄48 2 16 14分 35. (2009天津卷理 ) 已知等差数列色的公差为d(dHO)
25、,等比数列仇的公比为q(ql)。 设片 二吗勺 +色优 ?+色仇,血二- 2优+?.+(T)z ci nbn, ne N + (I)若CL-b x- 1, d二2, q二3,求 S$的值; (II)若勺二1,证明( 1-q) Sy (1+q)右广2如(1-厂), nE NS 亠1- 旷 (III)若正数n满足25n5q,设件匕,他和乙是12?,n的两个不同的排列, C严勺 +%$+? + % 仇,。2=。血+吗少 2+?+ %“证明 5 5。 木小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算 能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分14分。
26、 (I )解:由题设,ma n=2n-,hn=y-ne 所以,S、二dQ +a2b2 + 。3仇=1x1 + 3x3 + 5x9 = 55 (II)证明:由题设可得bn = q nx 则 S 2n = d + 切 + a2 + ?+詡“ , T2n = Cl CT +一_ a2n2n l 2n T2n = 2(吋 + 如+ 一。2川严) 式减去式,得 式加上式,得 +2n =2(坷 + 側 2 + +纭“心 ) 式两边同乘q,得 q(S2 “+E”) - 2(?$+% +?+如- ”1) 所以, (I-彳凡-(1 + q)Tln = (S 2n-T2n)-cj(S2n + T2n) 来源: =
27、 2d(g + g3+K+严) = wi-p . 1-/ (III)证明:c, - c2 = (ak - a ( )b + (ak - a )Z?2 +K + (ak - at )bn + 伙2 - ldb.q +K + (III )设数列仇的前项和为/? ”。已知正实数2满足:对任意正整数 /?, Rn 2Hj“, 7 ; v纟+ 25x(厶 + 丄+K+丄) “3 16216316“ 一方面,已知R fJ R H4n-l,即(2-4)卅一1对一切大于1的奇数n恒成立 /. A 4,否贝lj, (2-4)斤一1只对满足的正奇数n成立,矛盾。 4-A 另一方面,当A = 4时,对一切的正整数n
28、都有R n k w N“,?一22为整数, 3 ?不存在m 、使等式成立。 5分 (2)若监=?,即4+M = ,(*) a 1 吗+(斤_1) 1 (i )若d = 0,贝ij 1 = b 解:(1)因 1卫2009,2008,,坷006是公比为d的等比数列 , 从而。2000 = 。2008 =务沪 由 *2009 *2(X)8 +12?得皿2008 + 2009 匕, 解得d = 3或d = 4 ( 舍去) 。因此d = 3 又S3 = 3q + 3 = 15。解得ax - 2 从而当必1005时, an - a + (n _ l)d = 2 + 3(/7 -1) = 3/7 -1 当0
29、066 乂m = 6k , 由和得 a7 +K =(a; +K +tz; 2)4-K +(_5 +K + aj k) =(kT)( 才+K+a:) 因此由得 4+2+ Q3 +K + 忽 + QG +K + a: 6 + 6伙一1) = 6k = m = ma a2a3K am 2008年高考题 一、 选择题 1. (2008 江西卷)在数列a“ 中,q=2, Q”+ =d+ ln(l +丄),则() n A. 2 + Inn B. 2 + (/t-l)lnC. 2 + 7?Inn D. 1 + 77 + Inn 答案A 二、 填空题 6. (2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1
30、 23 45 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律,第n行(n 23)从左向右的第3个数为 答案 7. (2008湖北)观察下列等式 : n 2 =(kT)( | 2+飞 )6 (k-1) n 1=1 n /=! n + rT H /7 , +h+h_丄仏 23 30 .5 】6】5 5 4 1 2 i =-n +-n + n - tr 6 2 12 12 0 1 7 1 6 1 5 1 3 1 f =-n +_n+_ n 5 一 n 3 + 一 幺 7 2 2 6 42 n ?Lk k1 Lr一9 2i =%+“ ? +akn + ci +d2刃_+? + d“ + q), z=i 可以
31、推测,当x22( wN*)时,ak+=-,a k=-,ak= _ + 1 2 ak-2 = - ? 答案0 12 三、解答题 10. (2008 全国I)设函f(x) = x-xnx.数列a,满足0 vvl, +1 = f(a n). 來 源: (I )证明:函数 /( 兀) 在区间( 0,1)是增函数; (II)证明:an 0 故函数 /( 兀) 在区间(0,1)上是增函数; (II)证明: ( 用数学归纳法 )(i)当n二1时,0 ax 由函数/(兀)在区间(0,1)是增函数,且函数/X兀)在兀=1处连续 , 则代r)在区间(0,1是 增 函数,a2 = /(q) = d 吗lnd v 1
32、,即a b ,则ak+i -b = a k -b-ak ln k k k = ci -b-a Incit = a b-ai Inb = a _b_(djlnb a -b-ka nb /=1 /=1 z=i a - b-kax nb - b - (a A - b) = 0 9 即ak b 成立. 11. (2008山东卷 ) 将数列 / 屮的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: ai 出a:j a.s as 细 a? 89 Hio 记表中的第一列数a,. a2. a., a7 构成的数列为仏 , E二1? S为数列 的前刀项和 , 且满足 = - - 1=( 刃22). 叽SN-SS
33、 (I)证明数列成等差数列,并求数列bn的通项公式; S” (II)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 4 同一个正数 . 当=一一时,求上表中第行所有项和的和. 81 91 第二部分两年联考题汇编 2010年联考题 题组二(5月份更新) 一、填空题 1.(肥城市第二次联考)在等差数列仙中,若 (2)设T n =b2+b4 +/?6 + + , 求lim: XT8 解: (1)由色 +。5= 12卫2。5= 27,等差数列。”喲公差d 09可求得勺=3,。5 =9. a5 - a 2 1 二色+1 %+1 2色 1 1 1 - 1 - 2 2色 a】2
34、(II) 由(I)知一 色+1 L-4 即 * + 1 -1(1-J-) 1 n _ 2 2 n/ n _ 1 H - - - = 1 1 12+1 2“ 1 2 1 nr r ( + 1) /? T = 2 - : - ? 又1 + 2 + 3 - n = ; - . -T = 丄+丄+? + 2 n 2 2 2 2“ 2w+, 7:-1 2 10分 11分 12分 +3,. ?d - = 2,% = a2 - d = 1,/. an - 2川一1(斤 w N ).(4分) ?数列仇览勺前料项和为S n=-bn(ne AT), 1 2 /. 当/I = 1 时,S=也=1 /?!,/. bx
35、 =. 2 3 当舁n 2时,bn = S n - S“_1 = *仇一】一如, 2),即亿=2 X丄 =2_(8分) 殆3 3 (3丿31 2 1 (2)由(1)知纭仍是等比数列,其中首项b2 =-, 公比q = - Tn = 乞 + 乞 + 久 +. + b2n 2(i- 丄) =乞(1-/) = 9(9=丄(1 _ 丄) _ -q _ x_ 1 4 9 n _9 ?恤兔=lim寸 Z7T8 HT8 针7 牛 16.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分)、已知是正整数,数列仏的前斤项和 为S” ,数列加“的前斤项和为7;.对任何正整数斤,等式S”= 3)都成立 . (1)求数列血的通项
36、公式; (2)求7; (3)设A产2T”,Bn=(2n + 4)S” +3,比较A”与瓦的大小 . 解(1)当 =1 时由S n cin(n 3)得S = a= ci(1 3), 2 2 解得d =_丄. 2 当n2时, = S“ _S“_ =_%+*(_3)_ 一4), 解得仇=:1,即 6 一1 1心一;)? ?数列仏的通项公式为- 土 / c 、 n 1 (2) ?/ na n =n , “ 22/?_, ?7*(1 + 2 + 3 + ) ( 1 + 2? * + 3? * + + “ ?占 ). 令匕=1 + 2冷+ 3占+ ? + “?右 则+匕冷+ 2* + 3? * + + (
37、_1)?占 上两式相减 :2 S “ + * + ? + 占“ 1- 咻+ 1)_4 +出=川+_16+出 2” -i 4 2心 n-31 1 n-3 n-4 一。“ + 2 _2 + 27:i “ h ? 4 - B n +/1-16 ,斤 + 2 (2/1 + 4)(H - 4) 71 + 2 1 3 2-2 -n 2 +5n-6 77 -4- S/7 A ?当n = 2或咒=3时, 的值最大,最大值为0, 2 ? ? A/t - B n 2),al = 1,则与勺的等差中项是 () A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 答案B 二、填空题 2 1. (2009冠龙高级中学3月月
38、考)若数列勺中,a” =加+12牛N* ,则数列勺中 n + 2 的项的最小值为 _ 。 答案4 2. (2009韶关一模)在由正数组成的等比数列% 中卫 +。2=1卫3+6=4, 贝炖 +。6 = _ ? 答案16 3.(2009闵行三中模拟)已知an是等比数列,a2=2f a 5= , 则 +勺如 +? - 二 _ o 32 答案(1-4一“) 3 4.(2009 海九校联考)己知数列an的前刃项和为S” ,若S n=T- ,则 答案128 5. (2009金华一中2月月考)将正奇数排列如下表其中第i 1 行第丿 ?个数表示呦(iw N 、,例如3 5 79 11 13 15 17 19
39、当口2, A 即11为实数 . (1)求数列色的通项公式;(2)若仇为杨辉三角第舁行中所有数的和,即hn = C; + ?+? + C;, B n为杨辉三角前 n行中所有数的和,亦即为数列亿的前斤项和 , A 求lim代的值 . B n 解:(1)由已知ta n - 1 = An+l, tan- = An, 相减得tan+l -tan = att+,由/ 一 l0 得 当 口 = 2, A 即t2时,lim= 0、 T8 B n , 故数列是一个以4 =右为首项,以4 =古 为公比的等比数列 . (4分) 又仇=C : + ?+? + C ; = T , 故B” = 2(2 ” 1), (6
40、分) (7 分) i / 1 丿 ZTT8 - n -1 又/q _ 1 =角,得坷 =- 从而an = Y 1 A n=tan- = 1 , 又an单调递增 ,Aq=2,a1=2, ? ? an=2n- 6分 (II) bn = 2 ,! ? log, T = ? T, - 7 分 2 ?-5/I=1X2+ 2X224-3X23+.+ /?X2 Z, ?一2为=1x22+2x2?+3x2 +. + (一1)x2”+斤 2 ?得兀=2 + 2? + 2彳+ 2 一斤? 2/1+1 = “一2) 一n 1-2 10分 ?兀 + 农? 2/,+1 50,即2/,+1-2 50,/. 2 M+1 5
41、2 当nM5 时,2,+I 26 =6452. 故使片 +斤? 2曲 50,成立的正整数n的最小值为5 . 3.(2009杭州高中第六次月考)已知数列an,bn中 2. (2009临沂一模)己知单调递增的等比数列 cln 满足:色 +巫+弘二2 (II)当a=l时,若 5=- ,设数列久的前n项和几,“WN*,证明Tn2). 一得 S”+i - S n = 2(S” - S“_i ) + 斤 一O -1). 故an+=2an +1 o (n$2) . ( 2 分) 又an+=2 ( 给+1) , 所以- = 2(n 2). 色+1 故数列给 +1是从第2项其,以他 +1为首项,公比为2的等比数
42、列。 又 S2=2SI+1+1 ,a=a所以 2=。+2。 又当“I时, (1-护( 芥*+?+(丄- 2 2 3 n 12分 1 72 + 1 ) 故 心=(0+3)? 2n_2-l(n2). 又a=a不满足On=(o+3)? 2n2-1, (II ) itl 6/i=l 得an=2 n- 9 77 GN* 则 . n n b = - = - = ” (2曲-1)- (2 n - 1) 2曲-2“2“ 又7;訥+乞+?+仇,即7* + 2x* + 3x* + ?. + nx 1 1 1 + - + /7X - 24 2曲 -(1-) 2 2/ 1-1 2 设等差数列 % 他前项和S沪Tn满足
43、 = ,且 Tn 2 + 7 朮T為斗 津函数能) =扣_1),且駅血烬如1心1. 勺为奇数)寸 讥为偶数),试求 +心+?+“? 6. 5 _ 2 钿. 他 _ 2 S9 _ 2 _ 他 _ 2 由 k 吋十知而冠一科爲巧V 所以陽 = a (G + 3)? 2“-2 n = 1 n 2 得丄7;=A + 2XA + 3X 2 22 2 3 一得 -Tn =- + 2 “ 2 所以72一” 刃一i n r 斤 + 2 =2 - =-|x 丄(1- 丄) 又 /. a = q + 料 _ 1-x - - = + (n-l)- (1 ?) = + /1-2. “ 4 2 1 2 2 2心T 2
44、f T 9. (2009上海奉贤区模拟考 ) 已知点集L = (x,j) y = m-n f 其中m = (2x-Z?,l), ; = (l,b + l),点列代 (绻, 仇) 在1.屮,片为L与y轴的交点,等差数列色的公差为1, ne TV* o (1)求数列仇的通项公式; 为奇数 ) 若/(H)=U Z_令S”=/(l) + /(2) + /(3)+ ? + /(小 试用解析式写出0 (n为偶数: ) S”关于斤的函数。 陆(n 为奇数) (3)若f(n)=田込 给定常数m(mN ,m2),是否存在使得 g (n为偶数:) , / 伙+ 7/2) = 2/(777) ,若存在,求出比的值;
45、若不存在,请说明理由。 4 y= m ? n =(2xb) + (b+ l)=2x+1 y = 2x4-1与兀轴的交点A( q,b) 为(0,1),所以Q =0 ; ?“土 . 8分 (1分) ( II) ? f 将以上各式相加得 : 因为在y = 2兀+1上, 所以? = 2% +1,即化=2一1 (1分) (A )当Zl = 2k时,Sn= S“ = d +/?2 +。3 +“4 +? + 21 + 2R = ( 1 + 3 +? + 2R-i) +(Z?2 + 血 + + 方2 (3)设b“=,求数列仇的前斤项和。 整理得:仏厂1) 2=(%+1)2 化简得:an -a r , = 2 所以色是公差为2,首项为1的等差数列 , 即an = a】 +( 一l)x2 = 2一1 1 (2 斤-1)(2“+ 1) 2( 2“-1 2/2 + 1 何+1、 2 九+1 1 2丿 ?+ ) , 2 c 所以C1=G + 一) ,解之得:C1=1, ?1=1 2 G 当必2 时,= T n-Tn_, 所以 2T n= Tf-TnA + 所以,T-T_2 = n-h 2- 瑁3=“2, , T?-Tj=2,累加得 : 13. (2009番禺一模 ) 设数列匕对一切正整数”均有色=2尤+|-1,且d”0 ,如果 d - + - - - 1 - - + S S2Sn 1x2 2
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