中考数学知识点总结.pdf
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1、1 中考数学总复习资料 代数部分 第一章:实数 基础知识点: 一、实数的分类: 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数或无限循环小 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成 q p 的形式,其中p、q 是互质的整 数,这是有理数的重要特征。 2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如2、 3 4;特 定结构的不限环无限小数,如 1.101001000100001;特定意义的数, 如 、45sin等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才 下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数:
2、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)实数 a 的相反数是 -a ; (2)a 和 b 互为相反数a+b=0 2、倒数: (1)实数 a(a0)的倒数是 a 1 ; ( 2)a 和 b 互为倒数1ab; (3) 注意 0 没有倒数 3、绝对值: (1)一个数a 的绝对值有以下三种情况: 2 0, 0, 0 0, aa a aa a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是 数轴上表示这个数的点到原点的距离。 (3) 去掉绝对值符号 (化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、 负)确认,再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 (1)平方根,算术平方根:设a0,
3、称a叫 a 的平方根,a叫 a 的 算术平方根。 (2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0 的平方根是0;负数没有 平方根。 (3)立方根: 3 a叫实数 a的立方根。 (4)一个正数有一个正的立方根;0 的立方根是0;一个负数有一个负的 立方根。 三、实数与数轴 1、数轴:规定了原点、 正方向、 单位长度的直线称为数轴。原点、 正方向、 单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而 每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一 对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。 2、正数大
4、于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反 而小。 五、实数的运算 1、加法: (1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加; (2)异号两数相加, 取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较 小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法: 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法: (1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。 3 (2)n 个实数相乘,有一个因数为0,积就为 0;若 n 个非 0 的实数相乘, 积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数 为奇数个时,积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
5、。 4、除法: (1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0 除以任何数都等于0,0 不能做被除数。 5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减 是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同 级的运算, 先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。 无论何种运算,都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法 1、科学记数法:设N0,则 N= a n 10(其中 1a10,n 为整数)。 2、有效数字: 一个近似数,从左边第一个不是0的数
6、, 到精确到的数位为 止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种:(1)精 确到那一位; (2)保留几个有效数字。 例题: 例 1、已知实数a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,且ba。 化简:abbaa 分析:从数轴上a、b 两点的位置可以看到:a0,b0 且 ba 所以可得: 解:aabbaa原式 例 2、若 333 ) 4 3 (,) 4 3 (,) 4 3 (cba,比较 a、b、c 的大小。 分析:1) 3 4 ( 3 a;01 4 3 3 bb且; c0;所以容易得出: abc。 解:略 4 例 3、若22ba与互为相反数,求a+b 的值 分析: 由绝对值非负特性,
7、可知02,02ba,又由题意可知: 022ba 所以只能是:a 2=0,b+2=0,即 a=2,b= 2 ,所以 a+b=0 解:略 例 4、已知a 与 b 互为相反数,c 与 d 互为倒数, m 的绝对值是1,求 2 mcd m ba 的值。 解:原式 =0110 例 5、计算:(1) 19941994 125.08(2) 22 2 1 2 1 e e e e 解: (1)原式 =11)125.08( 19941994 (2)原式 = 2 1 2 1 2 1 2 1 e e e e e e e e =1 1 e e 代数部分 第二章:代数式 基础知识点: 一、代数式 1、代数式: 用运算符号
8、把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数 式。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值: 用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代 数式的值。 3、代数式的分类: 5 无理式 分式 多项式 单项式 整式 有理式 代数式 二、整式的有关概念及运算 1、概念 (1)单项式:像x、7、yx 2 2,这种数与字母的积叫做单项式。单独 一个数或字母也是单项式。 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次 数。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的系数。 (2)多项式:几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项:多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含 有几项,
9、就叫几项式。 多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的 次数。不含字母的项叫常数项。 升(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大 (小)的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。 (3)同类项: 所含字母相同, 并且相同字母的指数也分别相同的项叫 做同类项。 2、运算 (1)整式的加减: 合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母 的指数不变。 去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉, 括号里各项都不变;括号前面是“ ”号,把括号和它前面的“ ”号去掉, 括号里的各项都变号。 添括号法则:括号前面是“+”
10、号,括到括号里的各项都不变;括号 前面是“ ”号,括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去 括号,再合并同类项。 (2)整式的乘除: 幂的运算法则:其中m、n 都是正整数 6 同底数幂相乘: nmnm aaa;同底数幂相除: nmnm aaa; 幂的乘方: mnnm aa )(积的乘方: nnn baab)(。 单项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母, 用它们的指数的和作为这个字母的指数;对于只在一个单项式里含有的字 母,则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的 积相加。
11、多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每 一项,再把所得的积相加。 单项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只 在被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式:把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得 的商相加。 乘法公式: 平方差公式: 22 )(bababa; 完全平方公式: 222 2)(bababa, 222 2)(bababa 三、因式分解 1、因式分解概念: 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分 解。 2、常用的因式分解方法: (1)提取公因式法:)(cbammcmbma (2)运用公式法: 平 方 差 公 式
12、 :)( 22 bababa; 完 全 平 方 公 式 : 222 )(2bababa (3)十字相乘法:)()( 2 bxaxabxbax (4) 分组分解法: 将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分 解。 (5) 运用求根公式法: 若)0(0 2 acbxax的两个根是 1 x、 2 x, 7 则有: )( 21 2 xxxxacbxax 3、因式分解的一般步骤: (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2) 提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式, 应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公 式法。 (4)最后考虑用分组分解法。
13、四、分式 1、分式定义:形如 B A 的式子叫分式,其中A、B 是整式,且B 中含 有字母。 (1)分式无意义:B=0 时,分式无意义;B0 时,分式有意义。 (2)分式的值为0:A=0,B0 时,分式的值等于0。 (3) 分式的约分: 把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的 约分。方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。 (4) 最简分式: 一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式。 (5) 通分:把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分 式的过程,叫做分式的通分。 (6)最简公分母:各分式的分母所有因式的最高次幂的积
14、。 (7)有理式:整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质: (1))0(的整式是M MB MA B A ;(2) )0(的整式是M MB MA B A (3)分式的变号法则:分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其 中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算: (1)加、减:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母 的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减。 (2)乘:先对各分式的分子、分母因式分解, 约分后再分子乘以分子, 分母乘以分母。 (3)除:除以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 8 五、二次根式 1、二次根式的概念:式
15、子)0(aa叫做二次根式。 (1)最简二次根式:被开方数的因数是整数,因式是整式, 被开方数 中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 (2)同类二次根式: 化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根 式,叫做同类二次根式。 (3)分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。 (4)有理化因式: 把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积 不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化 因式有:a与a;dcba与dcba) 2、二次根式的性质: ( 1))0()( 2 aaa; ( 2) )0( )0( 2 aa aa aa; (3) baab( a0,b0) ;
16、 ( 4))0,0(ba b a b a 3、运算: (1)二次根式的加减:将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类 二次根式。 (2)二次根式的乘法:abba(a0,b0) 。 (3)二次根式的除法:)0, 0(ba b a b a 二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式。 例题: 一、因式分解: 1、提公因式法: 例 1、)(6)(24 22 xybyxa 分析:先提公因式,后用平方差公式 解:略 规律总结 因式分解本着先提取,后公式等,但应把第一个因式都分 9 解到不能再分解为止,往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查, 如果还能分解,应继续分解。 2、十字相乘法: 例
17、 2、 (1)365 24 xx; (2)12)(4)( 2 yxyx 分析:可看成是 2 x和(x+y) 的二次三项式,先用十字相乘法,初步分 解。 解:略 规律总结 应用十字相乘法时,注意某一项可是单项的一字母,也可 是某个多项式或整式,有时还需要连续用十字相乘法。 3、分组分解法: 例 3、22 23 xxx 分析:先分组,第一项和第二项一组,第三、第四项一组,后提取, 再公式。 解:略 规律总结 对多项式适当分组转化成基本方法因式分组,分组的目的 是为了用提公因式,十字相乘法或公式法解题。 4、求根公式法: 例 4、55 2 xx 解:略 二、式的运算 巧用公式 例 5、计算: 22
18、) 1 1() 1 1( baba 分析:运用平方差公式因式分解,使分式运算简单化。 解:略 规律总结 抓住三个乘法公式的特征,灵活运用,特别要掌握公式的 几种变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运算简便准确。 2、化简求值: 例 6、先化简, 再求值:)74()53(5 2222 xyyxxx,其中 x= 1 y =21 10 解:略 规律总结 一定要先化到最简再代入求值,注意去括号的法则。 3、分式的计算: 例 7、化简)3 3 16 ( 62 5 a aa a 分析: 3a可看成 3 9 2 a a 解:略 规律总结 分式计算过程中: (1)除法转化为乘法时,要倒转分子、 分母;(2
19、)注意负号 4、根式计算 例 8、已知最简二次根式12b和b7是同类二次根式,求b 的 值。 分析:根据同类二次根式定义可得:2b+1=7 b。 解:略 规律总结 二次根式的性质和运算是中考必考内容,特别是二次根式 的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。 代数部分 第三章:方程和方程组 基础知识点: 一、方程有关概念 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解: 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含 有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根: 在方程变形时, 产生的不适合原方程的根叫做原方程 的
20、增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中 x 是未知数, a、b 是 11 已知数, a 0) (2)一玩一次方程的最简形式:ax=b(其中 x 是未知数, a、b 是已 知数, a0) (3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类 项和系数化为1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 (1)一元二次方程的一般形式:0 2 cbxax(其中 x 是未知数, a、b、c 是已知数, a0) (2)一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式 分解法 (3) 一元二次方程解法的选择顺序是:先特殊后一般,
21、如果没有要求, 一般不用配方法。 (4)一元二次方程的根的判别式:acb4 2 当0 时方程有两个不相等的实数根; 当=0 时方程有两个相等的实数根; 当0,即原不等式的解集为 2 10 a a x,3 2 10 a a 解此方程求 出 a 的值。 解:略 规律总结 此题先解字母不等式,后着眼已知的解集,探求成立的条 件,此种类型题都采用逆向思考法来解。 20 代数部分 第六章:函数及其图像 知识点: 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。 在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征: (1)各象限内点的坐
22、标有如下特征: 点 P(x, y)在第一象限x 0,y0; 点 P(x, y)在第二象限x0,y0; 点 P(x, y)在第三象限x0,y0; 点 P(x, y)在第四象限x0,y0。 (2)坐标轴上的点有如下特征: 点 P(x, y)在 x 轴上y 为 0,x 为任意实数。 点 P(x, y)在 y 轴上x 为 0,y 为任意实数。 3点 P( x, y)坐标的几何意义: (1)点 P(x, y)到 x 轴的距离是 | y |; (2)点 P(x, y)到 y 袖的距离是 | x |; (3)点 P(x, y)到原点的距离是 22 yx 4关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征: (1)点 P
23、(a, b)关于 x 轴的对称点是),( 1 baP; (2)点 P(a, b)关于 x 轴的对称点是),( 2 baP; (3)点 P(a, b)关于原点的对称点是),( 3 baP; 二、函数的概念 1、常量和变量: 在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保 持数值不变的量叫做常量。 2、函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量x 和 y,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量, y 是 x 的 函数。 (1)自变量取值范围的确是: 解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体 21 实数。 解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自
24、变量取值范围是使分 母不为 0 的实数。 解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是 使被开方数非负的实数。 注意:在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必 须使实际问题有意义。 (2) 函数值:给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 (3)函数的表示方法:解析法;列表法;图像法 (4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:列表;描点; 连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 直线位置与k,b 的关系: (1)k 0 直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角; (2)k 0 直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角; (3)b 0 直
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