重庆南开中学2015届高三10月月考数学(理)试题Word含解析.pdf
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1、重庆南开中学 2015 届高三 10月月考数学(理)试题(解析版) 本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为为主导,在注重考查运算能力和分析问题 解决问题的能力,知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查: 不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变 换与解三角形、等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 【题文】一 .选择题:本大题共10小题,每小题5分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的 【题文】 1 复数Z(1)ii(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第
2、二象限C第三象限D 第四象限 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】B i(1+i)=i+i 2=-1+i , i(1+i )即复数为 -1+i, -1+i 在复平面内对应的点(-1,1)位于第二象限故答案为:B 【思路点拨】由i(1+i )=-1+i ,由此能求出复数i(1+i )的复数在复平面内对应的点所在的象 限 【题文】 2.角终边经过点( 1 ,-1 ) ,c o s A.1 B.-1 C 2 2 D 2 2 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案解析】C 角终边经过点(1 ,-1 ) ,所以cos 22 1 1( 1) = 2 2 故选 C 。 【思路点拨】可直
3、接根据定义确定余弦值 【题文】 3.设 0.3 2 1 log3 ,2,log, 3 abc则 A.abcB.acbC.cabD.bac 【知识点】指数对数B6 B7 【答案解析】D 由题意得0log 31, 0.3 21, 2 1 log0 3 则bac所以 D 【思路点拨】根据指数对数性质求出范围再比较。 【题文】 4. “ 3 sin 2 x” 是“ 3 x” 的 A. 充要条件B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案解析】C 若 3 x则 3 sin 2 x,若 3 sin 2 x则 3 x还能为 2 3 故
4、选 C. 【思路点拨】根据角的范围为任意角去得到必要不充分条件。 【题文】 5.函数 2 ( )82f xxx的一个零点所在区间为 A. ( 1 ,2)B. (2,3)C. (3, 4)D. (4,5) 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】B 因为 2 ( )82f xxx,f(2)0,f(3)0, 所以 3 (,) 4 3 2(,2 ) 2 则 cos2 = 3 2 所以sin(2 ) 3 -1. 【思路点拨】根据角的范围求出三角函数值,再利用三角恒等变换求出最后结果。 【题文】 考生注意: 14 、15 、16为选做题,请从中任选两道题作答,若三题全做,则按前两题 给分。 【题文】 14
5、. 如图,PQ为半圆O的直径,A为以OQ为直径的半圆A的圆心,圆O的弦PN切圆A 于点M,PN=8 ,则圆A的半径为 _ 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1 【答案解析】 3 2 2 如图所示,连接AM ,QN 由于 PQ 是 O 的直径, PNQ=90 圆 O 的弦 PN 切圆 A 于点 M, AM PN AM QN, 3 4 PMPA PNPQ 又 PN=8 , PM=6 根据切割线定理可得:PM 2=PO?PQ 设 O 的半径为R则 62=R?2R, R=3 2, A 的半径 r= 1 2 R= 3 2 2 故答案为: 3 2 2 【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得:
6、PNQ=90 =PMA 进而得到 AM QN,可得 3 4 PMPA PNPQ 可得PM,再根据切割线定理可得:PM 2=PO?PQ 可得 PO 【题文】 15. 已知曲线C 1、C2的极坐标方程分别为 2sin,cossin10,则曲线 C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为_ 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3 【答案解析】2-1 由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为=2sin ,cos+sin +1=0, 则它们的直角坐标方程分别为x 2+(y-1)2=1,x+y+1=0 曲线 C1上表示一个半径为1 的圆,圆心为(0,1), 曲线 C2表示一条直线,圆心到直线的距离为d= 01
7、1 2 2 d, 故曲线 C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为2-1,故答案为:2-1 【思路点拨】 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离为d, 再把 d 减去半径, 即为所求 【题文】 16. 若不等式 2 373xxaa的解集为R,则实数a的取值范围是_ 【知识点】选修4-5 不等式选讲N4 【答案解析】-2,5 |x+3|+|x- 7| |(x+3 )+( 7-x)|=10 , |x+3|+|x- 7| a 2-3a 的解集为 R? a 2-3a10 ,解得 -2a5 实数 a 的取值范围是-2,5故答案为:-2,5 【思路点拨】 利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|
8、x- 7| 10 , 依题意, 解不等式 a 2-3a10即可 【题文】三、解答题:本大题共6 小题,共75分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 【题文】 17. (本小题满分13分) 已知函数( )sin()cos()coscos() 22 f xxxxx (1 )求函数( )f x的最小正周期; (2)当, 44 x 时,求函数( )f x的最大值和最小值. 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】(1) (2)最大值是0 最小值是 -1 (1) 由题意得, f (x)=sin( 2 +x)cos( 2 -x)+cosxcos ( -x) =sinxcosx-cosxco
9、sx=-cos2x, 函数 f(x)的最小正周期T= 2 2 =; (2)由 x- 4 , 4 得, 2x- 2 , 2 ,所以 0cos2x1 ,即 -1 -cos2x0 ,则函数的最大 值是 0,最小值是 -1 【思路点拨】(1)根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式,再由周期公式求出函 数 f( x)的最小正周期; (2)由 x- 4 , 4 得 2x- 2 , 2 ,根据余弦函数的性质求出cos2x 的范围,再求 出函数的值域,即可求函数的最值 【题文】 18. (本小题满分13分) 已知函数( )2sin() , 6 f xxxR (1 )已知tan2 ,(,) 2 ,求( )
10、f的值; (2)若 8 ,0,()2,() 35 ff ,求(22 )f的值 . 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5 【答案解析】 (1) 2 155 5 (2) 14 25 (1)tan2 (,) 2 2 55 sin,cos 55 ()2 sin()3 sincos 6 f 2 155 5 (2)()2sin()2 6 fsin()1 6 又0, 3 +0, 62 +=,故= 623 8 又()2 sin() 65 f, 4 sin() 65 25 (22 )2 sin(2+)2sin(2) 366 f2cos(2) 3 2 212 sin () 6 14 = - 25 【思路点拨
11、】根据同角三角函数基本关系求出,利用三角恒等变换求出。 【题文】 19. (本小题满分13分) 设函数 3221 ( )(1)() 3 f xxxmxxR (1 )当1m时,求函数( )f x的单调区间与极值; (2)若函数(sin)yfx在0, 2 x 上单调递增,求实数m的取值范围 . 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】(1)略( 2)( 0, 2 -1 (1) f(x)=- 1 3 x 3+x2+(m2-1)x,( xR), f (x) =-x 2 +2x+m 2 -1 令 f (x) =0,解得 x=1-m ,或 x=1+m 因为 m0,所以 1+m 1-m 当 x 变化时, f
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