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1、直线和圆锥曲线常考题型(1) 运用的知识: 1、中点坐标公式: 1212 ,y 22 xxyy x,其中, x y是点 1122 (,)(,)A xyB xy,的中点坐标。 2、弦长公式:若点 1122 (,)(,)A x yB xy,在直线(0)ykxb k上, 则 1122 ykxbykxb,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, 222222 1212121212 ()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 22 1212 (1)()4kxxx x 或者 22222 1212121212 2 111 ()()()()(1)()ABxxyyxxyyyy kkk 2 1
2、2122 1 (1)()4yyy y k 。 3、两条直线 111222 :,:lyk xb lyk xb垂直:则 12 1k k 两条直线垂直,则直线所在的向量 12 0v v 4、韦达定理:若一元二次方程 2 0(0)axbxca有两个不同的根 12 ,x x,则 1212 , bc xxx x aa 。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1、已知直线:1lykx与椭圆 22 :1 4 xy C m 始终有交点,求m的取值范围 解:根据直线:1lykx的方程可知,直线恒过定点(0,1) ,椭圆 22 :1 4 xy C m 过动点0),4mm( ,且,如
3、果直线 :1lykx 和椭圆 22 :1 4 xy C m 始终有交点,则14mm,且,即1 4mm且 。 题型二:弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N : 2 yx交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在一点E( 0 x,0),使得ABE是等边三角形, 若存在, 求出 0 x;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线:(1)lyk x, 0k , 11 (,)A xy, 22 (,)B xy。 由 2 (1)yk x yx 消 y 整理,得 2222 (21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点,得 2242 (21)44
4、10kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理,得: 2 12 2 21 , k xx k 12 1x x。 则线段 AB 的中点为 2 2 211 (,) 22 k kk 。 线段的垂直平分线方程为: 2 2 1112 () 22 k yx kkk 令 y=0,得 0 2 11 22 x k ,则 2 11 (,0) 22 E k ABE为正三角形, 2 11 (,0) 22 E k 到直线 AB 的距离 d 为 3 2 AB。 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 14 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 141 1 22 kk k kk 解得 39 13
5、 k满足式此时 0 5 3 x。 题型三:动弦过定点的问题 例题 3、已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ,且在 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求椭圆的方程; (II)若直线 :(2)lxt t 与 x 轴交于点T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论 解: (I)由已知椭圆C 的离心率 3 2 c e a ,2a,则得3,1cb。 从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (II)设 11(,)M xy , 22(,)N x
6、y ,直线 1A M 的斜率为 1k ,则直线 1A M 的方程 为 1( 2)yk x,由 1 22 (2) 44 yk x xy 消 y 整理得 222 121 (14)161640kxk xk 1 2x和是方程的两个根, 2 1 12 1 164 2 1 4 k x k 则 2 1 12 1 28 14 k x k , 1 12 1 4 14 k y k , 即点 M 的坐标为 2 11 22 11 284 (,) 1414 kk kk , 同理,设直线A2N 的斜率为 k2,则得点 N 的坐标为 2 22 22 22 824 (,) 1414 kk kk 12 (2),(2) pp y
7、k tykt 12 12 2kk kkt , 直线 MN 的方程为: 121 121 yyyy xxxx , 令 y=0 ,得 2112 12 x yx y x yy ,将点 M、N 的坐标代入,化简后得: 4 x t 又2t, 4 02 t 椭圆的焦点为( 3,0) 4 3 t ,即 4 3 3 t故当 4 3 3 t时, MN 过椭圆的焦点。 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4、已知点A、B、C 是椭圆 E: 22 22 1 xy ab (0)ab上的三点,其中点A(23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中 心 O,且0AC BC,2BCAC,如图。 (I)求点 C 的坐标
8、及椭圆E 的方程; (II) 若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称,求直线PQ 的斜率。 解: (I) 2BCAC,且 BC 过椭圆的中心O OCAC0AC BC 2 ACO又A (23,0) 点 C 的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点, 2 3a,则椭圆方程为: 22 2 1 12 xy b 将点 C( 3,3)代入方程,得 2 4b, 椭圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称, 设直线 PC 的斜率为 k,则直线 QC 的斜率为 k,从而直线 PC 的方程为: 3(3)yk x,即3
9、(1)ykxk, 由 22 3(1) 3120 ykxk xy 消 y,整理得: 222 (13)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根, 2 2 9183 3 13 P kk x k 即 2 2 9183 3(1 3) P kk x k 同理可得: 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k 3(1)3(1) PQPQ yykxkkxk()2 3 PQ k xxk 2 12 3(13) k k 22 22 91839183 3(1 3)3(1 3) PQ kkkk xx kk 2 36 3(13) k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜
10、率为定值 1 3 。 题型六:面积问题 例题 6、已知椭圆C:1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的离心率为, 3 6 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 ()求椭圆C 的方程; ()设直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为 2 3 ,求 AOB 面积的最大值。 解: ()设椭圆的半焦距为c,依题意 6 3 3 c a a , , 1b ,所求椭圆方程为 2 2 1 3 x y。 ()设 11()A xy, , 22 ()B xy, 。 (1)当AB x 轴时, 3AB 。 (2)当AB与x轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 ykxm。 由已知 2
11、3 2 1 m k ,得 22 3 (1) 4 mk。 把ykxm代入椭圆方程,整理得 222 (31)6330kxkmxm, 12 2 6 31 km xx k , 2 12 2 3(1) 31 m x x k 。 2 22 21 (1)()ABkxx 222 2 222 3612(1) (1) (31)31 k mm k kk 22222 2222 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31) kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33(0)34 1 961236 96 k k kk k k 。 当且仅当 2 2 1 9k k ,即 3 3 k时等号成立。当0k时,3A
12、B, 综上所述 max 2AB。 当AB最大时,AOB面积取最大值 max 133 222 SAB。 题型七:弦或弦长为定值问题 例题 7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于 A、B 两点。 ()若点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值; ()是否存在垂直于y 轴的直线l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。 ()依题意,点N 的坐标为 N(0,-p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得
13、. 2 2 pkxy pyx 消去 y 得 x2-2pkx-2p 2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p 2. 于是 21 2 2 1 xxpSSS ACNBCNABN 21 2 2121 4)(xxxxpxxp .2284 22222 kppkpp 2 22min0pSk ABN) 时,(当 . ()假设满足条件的直线l 存在,其方程为y=a,AC 的中点为为直与ACtO ,径的圆相交于点P、Q,PQ 的中点为H,则 )点的坐标为( 2 , 2 , 11 pyx OPQHO 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 pyxACPO 22 1 2 1 py. ,2 2 1 2
14、1 1 pya py aHO 222 HOPOPH = 2 1 22 1 )2( 4 1 )( 4 1 pyapy ),() 2 ( 1 apay p a 2 2 )2(PHPQ = .)() 2 (4 2 apay p a 令0 2 p a,得pPQ p a此时, 2 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为 2 p y, 即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: ()前同解法1,再由弦长公式得 2222 21 2 21 2 21 2 8414)(11pkpkxxxxkxxkAB .212 22 kkp 又由点到直线的距离公式得 2 1 2 k p d. 从而,,22 1 2 212 2 1
15、 2 1 22 2 22 kp k p kkpABdS ABN .22max0 2 pSk ABN) 时,(当 ()假设满足条件的直线t 存在,其方程为y=a,则以 AC 为直径的圆的方程为 ,0)()(0( 11 yypyxxx 将直线方程y=a 代入得 ).(1) 2 (4)(4 ,0)( 1 2 1 11 2 apay p ayapax yapaxxx 则 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有 . )() 2 (2)() 2 (4 1143 apay p aapay p axxPQ 令 pPQ p a p a此时得, 2 ,0 2 为定值,故
16、满足条件的直线l 存在,其方程为 2 p y . 即抛物线的通径所在的直线。 问题九:四点共线问题 例题 9、设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,1)M,且着焦点为 1( 2,0)F ()求椭圆 C的方程; ()当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时,在线段 AB上取点Q,满足AP QBAQ PB , 证明:点Q 总在某定直线上 解 (1)由题意: 2 22 222 2 21 1 c ab cab ,解得 22 4,2ab,所求椭圆方程为 22 1 42 xy (2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 1122 ( , ),(,),(,)x
17、 yxyxy。 由题设知,APPBAQQB均不为零,记 APAQ PBQB ,则0且1 又 A,P,B,Q 四点共线,从而,APPB AQQB 于是 12 4 1 xx , 12 1 1 yy 12 1 xx x , 12 1 yy y 从而 222 12 2 4 1 xx x, (1) 222 12 2 1 yy y, (2) 又点 A、B 在椭圆 C 上,即 22 11 24,(3)xy 22 22 24,(4)xy (1)+(2) 2 并结合( 3) , (4)得424sy 即点( , )Q x y总在定直线220xy上 方法二 设点 1122 ( , ),(,),(,)Q x yA x
18、yB xy,由题设,,PAPBAQQB均不为零。 且 PAPB AQQB 又 ,P A Q B四点共线,可设,(0, 1)PAAQ PBBQ ,于是 11 41 , 11 xy xy(1) 22 41 , 11 xy xy(2) 由于 1122 (,),(,)A xyB xy在椭圆 C 上,将( 1) , (2)分别代入C 的方程 22 24,xy整理得 222 (24)4(22)140xyxy(3) 222 (24)4(22)140xyxy(4) (4)(3) 得8(22)0xy 0,220xy 即点( , )Q x y总在定直线220xy上 问题十:范围问题(本质是函数问题) 设 1 F、
19、 2 F分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点。 ()若 P是该椭圆上的一个动点,求 1 PF 2 PF的最大值和最小值; ()设过定点 )2,0(M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点) ,求直线l 的斜率 k的取值 范围。 解: ()解法一:易知2,1,3abc 所以 12 3,0 ,3,0FF,设,P x y,则 22 12 3,3,3PFPFxyxyxy 2 22 1 1338 44 x xx 因为 2,2x ,故当 0x ,即点P为椭圆短轴端点时, 12 PF PF有最小值2 当 2x ,即点P为椭圆长轴端点时, 12 PF PF有最大
20、值1 解法二:易知2,1,3abc,所以 12 3,0 ,3,0FF,设,P x y,则 222 1212 12121212 12 cos 2 PFPFF F PFPFPFPFF PFPFPF PFPF 22 2222 1 33123 2 xyxyxy (以下同解法一) ()显然直线 0x 不满足题设条件,可设直线 1222 :2,lykxA x yB xy, 联立 2 2 2 1 4 ykx x y ,消去 y,整理得: 22 1 430 4 kxkx 1212 22 43 , 11 44 k xxxx kk 由 2 2 1 443430 4 kkk 得: 3 2 k或 3 2 k 又 00
21、 0090cos000A BA BOA OB 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11 44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 2 22 31 0 11 44 k kk ,即 2 4k22k 故由、得 3 2 2 k或 3 2 2 k 问题十一、存在性问题: (存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方 形) ,圆) 设椭圆 E: 22 22 1 xy ab (a,b0)过 M(2,2) ,N(6,1)两点, O 为坐标原点, (I)求椭圆
22、 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在, 写出该圆的方程, 并求 | AB | 的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆E: 22 22 1 xy ab (a,b0)过 M(2,2) ,N(6,1)两点 , 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 22
23、 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (12)4280kxkmxm, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 = 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 122 2 122 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB, 需使 1212 0x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk,
24、所以 2 238 0 8 m k又 22 840km, 所以 2 2 2 38 m m ,所以 28 3 m,即 2 6 3 m或 2 6 3 m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径 为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r,所求的圆为 228 3 xy,此时圆的切线ykxm都满足 2 6 3 m或 2 6 3 m,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 262 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足OAOB,综上 , 存在圆心在原点的圆 228 3
25、 xy,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 A,B,且OAOB. 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212222 2 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 12121222 8(84) |()(1)()(1) (1 2) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当 0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , 所以 4 6| 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k时取 ” =” . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0k 时, 4 6 | 3 AB. 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 ,所以此时 4 6 | 3 AB, 综上 , | AB | 的取值范围为 4 6|2 3 3 AB即: 4 | 6, 2 3 3 AB
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